Задача по планиметрии (школьная)

[Booker48]

Гм... Вроде бы, если суммы длин противоположных сторон четырёхугольника равны, то вписать в него окружность можно всегда. Но вопрос: если при этом две противоположные стороны равны, и точка касания делит сторону в отношении $12:15$, то может ли такой четырёхугольник быть трапецией?

[gris]

Задача с небольшим методическим подвохом
Booker48, при любом соотношении, в котором точка касания делит сторону, выбранную боковой, можно очень просто построить вписанную трапецию, в которой вторая боковая сторона будет равна первой. Ну разве что при соотношении 1:1 будет получаться квадрат.
Трапеций будет с точностью до подобия ровно одна, а ещё один четырёхугольник будет ромбом.
И вот такой чертёж выставляется в качестве иллюстрации условия. И ученик завороженно считает, что две стороны, примыкающие к боковой, обязаны быть параллельными. А вот и нет. Как и было сказано, к заданному чертежу можно приделать другой, оставив боковушку с точкой касания и прикоснув к ней окружность чуть меньшего радиуса. Далее может получиться кособокий вписанный четырёхугольник. А может и не получиться, если не чуть.
Но ещё один подвох в классификации четырёхугольников. В школьном курсе обычно трапецией называют четырёхугольник, у которого ровно одна пара параллельных сторон. Понятие трапециума или трапецоида не вводится. То есть четырёхугольника с хотя бы одной парой параллельных сторон. От этого ехидные преподы часто подлавливают простодушных школьников, не заметивших, что их трапеция — паралеллограмм (ага, тоже вырожденный случай )

[Stensen]

Booker48 в сообщении #1597238 писал(а):

Гм... Вроде бы, если суммы длин противоположных сторон четырёхугольника равны, то вписать в него окружность можно всегда. Но вопрос: если при этом две противоположные стороны равны, и точка касания делит сторону в отношении $12:15$, то может ли такой четырёхугольник быть трапецией?

Трапеция с основаниями $24,30 или я не понял вопроса?

-- 11.06.2023, 11:37 --

gris в сообщении #1597260 писал(а):

Трапеций будет с точностью до подобия ровно одна, а ещё один четырёхугольник будет ромбом

Gris, правильно я понял, что решение не единственно и могут быть другие, не указанные 4-х угольники, т.е. не хватает данных?

[Booker48]

Stensen в сообщении #1597271 писал(а):

Gris, правильно я понял, что решение не единственно

Думаю, да. Построить по заданному отрезку и заданной точке касания равнобочную трапецию легко. Поскольку четырёхугольник - не жёсткая фигура, то из него можно получить бесконечно много четырёхугольников, в каждый из которых по теореме, доказанной Штайнером, можно вписать окружность. Но у них будет другое отношение отрезков $AE:ED$. Значит, если в исходной задаче взять это отношение не $12:15$, а, допустим, $10:17$, то тоже можно построить какую-то равнобочную трапецию, а деформируя её, добиться того, чтобы в получившейся не-трапеции выполнялось $AE:ED = 12:15$.
Наверное, для однозначности четырёхугольника нужно задаться ещё углом.

[Stensen]

Спасибо всем

[gris]

А вот посмотрите, как построил пример ИИ
https://ibb.co/PQbSbpc