Трхмерный Пифагор

[MGM]

У меня возник вопрос - существуют ли две тройки натуральных чисел для которых выполняется следующее условие

\[ a^2 + b^2 + c^2 = 2\left( {d^2 + f^2 + g^2 } \right) \]

Понятно, что почти для всех (если их значения взаимно удовлетворяют правилу симплекса) произвольных натуральных шестёрок \{a,b,c,d,f,g\} можно построить трёхмерный симплекс, но вот что делать дальше пока не знаю.....

[sceptic]

1^2+1^2+2^2 = 2(1^2+1^2+1^2).
1^2+3^2+8^2 = 2(1^2+4^2+5^2).

[Zai]

$a=b=d, f=g, c=2f
Как в случае

\[ a^2 + b^2 + c^2 = e\left( {d^2 + f^2 + g^2 } \right) \]

a,b,c,d,e,f,g - натуральные числа

[Алексей К.]

Если имеется тетраэдр, в вершине которого сходятся своими прямыми углами три прямоугольные грани, площади которых --- $A,B,C$, а третья грань ("гипотенуза") имеет площадь $D$, то $A^2+B^2+C^2=D^2$.
Собственно, возможно, для такого соотношения необязательно иметь три прямоуголных грани, и достаточно каких-то свойств самого трёхгранного угла --- не знаю, не вникал.
Мне показалось, что это соотношение несколько ближе, чем Ваше, к заголовку темы.

[hurtsy]

Алексей К.

Цитата:

Если имеется тетраэдр, в вершине которого сходятся своими прямыми углами три прямоугольные грани, площади которых --- , а третья грань ("гипотенуза") имеет площадь$D$ , то $A^2+B^2+C^2=D^2$ .

Где то мне попался контрпример. Короткие ребра Вашего тетраэдра 1, длинные $sqrt(2)$, тогда
$A=B=C=1/2$ а $D=sqrt(3)$ следует
$3/4\ne3$, с уважением,

[Алексей К.]

hurtsy писал(а):

Короткие ребра Вашего тетраэдра 1, длинные $sqrt(2)$, тогда
$A=B=C=1/2$ а $D=sqrt(3)$ следует
$3/4\ne3$, с уважением,

$$D=\frac{1}{2}ab\sin60^\circ=\frac{1}{2}\sqrt{2}\sqrt{2}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad\frac{3}{4}=\frac{3}{4}.$$

[hurtsy]

Алексей К. писал(а):

hurtsy писал(а):

Короткие ребра Вашего тетраэдра 1, длинные $sqrt(2)$, тогда
$A=B=C=1/2$ а $D=sqrt(3)$ следует
$3/4\ne3$, с уважением,

$$D=\frac{1}{2}ab\sin60^\circ=\frac{1}{2}\sqrt{2}\sqrt{2}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad\frac{3}{4}=\frac{3}{4}.$$

Мой грех, то есть "глюк". Потерял 2-ечку. Контрпример - мираж. Но это не "злоумышленно".

С уважением,