Если в книге исключаются связные нормальные абелевы подгруппы, то тогда вроде все понятно.
Инъективность отображения

в группу изометрий

эквивалентна тому, что если

для всех

, то

(можно положить

) и тогда

коммутирует со всеми

. Т.е. ядро гомоморфизма совпадает с центром

. Но центр декартова произведения групп есть декартово произведение их центров. Поэтому если центр

тривиален, то получается изоморфизм.