Система уравнений с параметром

[Айват]

При каком наименьшем натуральном значении параметра $a$ система уравнений

$$ \left\{ \begin{array}{l} y=sin^2x-12a \\ y=4-6asinx \end{array} \right. $$

не имеет решений?
Решил я это уравнение так

$$sin^2x-12a=4-6asinx$$

$$sin^2x+6asinx-(12a+4)=0$$

$$sinx=t$$

$$t^2+6at-(12a+4)$$

$D=36a^2+48a+16$, при $D<0$ система уравнений не будет иметь решений.
Решаю неравенство:
$9a^2+12a+4<0$, но неравенство не может быть меньше нуля, т.к:
$9a^2+12a+4=0$
$D_1=144-144=0$,т.е уравнение имеет один корень.

$$a=-\frac2 3$$

$9\left(a+\frac2 3\right)^2=0$ и многочлен $9a^2+12a+4$ всегда больше либо равно нулю.
А из этого всего следует, что и система уравнений при любых $a$ имеет решение.
Где я ошибся?

[ewert]

А какие значения имеет право принимать $t$?

Надо решать до конца. Благо это нетрудно, раз уж дискриминант есть полный квадрат. Получится некая система линейных неравенств для $a$.

[PAV]

Айват в сообщении #134747 писал(а):

К сожалению не могу исправить название темы

Нажмите "правка" на своем первом сообщении. Название темы есть название первого сообщения в ней.

[Айват]

ewert, Вы правы! Я решал, и не мог решить эту систему. Теперь все стало на свои места.
Только небольшой вопросик

$$ \left\{ \begin{array}{l} 0<a<12 \\ -\frac4 9<a<0 \end{array} \right. $$

Ну я выбрал $a=0$ я же правильно сделал?

[worm2]

У нас принято натуральными называть целые числа, строго большие нуля.

[ewert]

Айват писал(а):

ewert, Вы правы! Я решал, и не мог решить эту систему. Теперь все стало на свои места.
Только небольшой вопросик

$$ \left\{ \begin{array}{l} 0<a<12 \\ -\frac4 9<a<0 \end{array} \right. $$

Ну я выбрал $a=0$ я же правильно сделал?

Нет, где-то, видимо, ошибка в арифметике. Там один из корней не зависит от $a$, так что получится только одно двойное неравенство.

(и тем более неверно, что из Вашей системы получается пустое множество)

[Айват]

Точно ошибка! При $a$ на самом деле коэффициент равен $36$, а считал $9$! Теперь вроде все точно.

$$-\frac1 3<a<0$$

И тогда $a_{наим}=1$
Спасибо за помощь! Теперь стало понятнее как решать, задания с параметром

[ewert]

Айват писал(а):

Точно ошибка! При $a$ на самом деле коэффициент равен $36$, а считал $9$! Теперь вроде все точно.

$$-\frac1 3<a<0$$

И тогда $a_{наим}=1$

Ни фига себе решение!
(по убывающей) и ответ не соответствует системе, и тип системы не тот, и цифирки неправильные...

[observer]

Айват писал(а):

При каком наименьшем натуральном значении параметра $a$ система уравнений

$$ \left\{ \begin{array}{l} y=sin^2x-12a \\ y=4-6asinx \end{array} \right. $$

не имеет решений?
Решил я это уравнение так

$$sin^2x-12a=4-6asinx$$

$$sin^2x+6asinx-(12a+4)=0$$

$$sinx=t$$

$$t^2+6at-(12a+4)$$

Если $a$ натуральное, то просто тупо найдите оба решения для $t$ из квадратного уравнения. Там все несложно.

[bot]

Если обозначить для краткости $s=\sin x$ и выразить параметр $a$ через $s$, то задача очевидным образом переформулируется:

Найти наименьшее натуральное число $a$, которое не является значением функции $-\frac{s+2}{6}$ на отрезке $[-1;\ 1]$.

Попросту говоря, надо найти наименьшее натуральное число. Одни считают, что это 1, другие - 0.

Добавлено спустя 5 минут 33 секунды:

Можно и не переформулировать - очевидно, что система не имеет решений ни при $a=0$ ни при $a=1$.

[ewert]

Не сбивайте с толку. Ноль официально ненатурален.

[bot]

Это такое постановление есть? Я считаю, что это лишь вопрос соглашения - в некоторых случаях удобно начинать счёт с нуля, а в других с единицы. Разумеется это нужно оговаривать, чтобы не сбивать с толку.

[ewert]

bot писал(а):

Это такое постановление есть? Я считаю, что это лишь вопрос соглашения - в некоторых случаях удобно начинать счёт с нуля, а в других с единицы. Разумеется это нужно оговаривать, чтобы не сбивать с толку.

Мало ли что удобно. Попробуйте сдать выпускной или вступительный экзамен, исходя из того, что удобнее считать ноль натуральным. А я на Вас посмотрю.

--------------------------------------
Да, а решение-то хорошее, конечно.

[bot]

ewert в сообщении #134986 писал(а):

Попробуйте сдать выпускной или вступительный экзамен, исходя из того, что удобнее считать ноль натуральным.

Если речь идёт о выпускном школьном экзамене, то по соглашению 0 не натурален, а если это экзамен по логике в университете, то натурален.
В любом случае, если принять за аксиому, что экзамен - это беседа двух умных людей, то они смогут договориться.

[ewert]

bot писал(а):

ewert в сообщении #134986 писал(а):

Попробуйте сдать выпускной или вступительный экзамен, исходя из того, что удобнее считать ноль натуральным.

Если речь идёт о выпускном школьном экзамене, то по соглашению 0 не натурален, а если это экзамен по логике в университете, то натурален.
В любом случае, если принять за аксиому, что экзамен - это беседа двух умных людей, то они смогут договориться.

, но за отдельную плату, разумеется