Найти изящное красивое решение по вероятности

[Skipper]

Приближенной достаточно, только желательно тогда знать, какая погрешность может быть, т.е. $o(X)$ - от чего?

[zykov]

1) Оценка $9\cdot \left(\frac{8}{9}\right)^{30} \approx 0.263$.
Следующая поправка (она же - оценка точности) $\frac12 \cdot 8\cdot 9\cdot \left(\frac{8}{9}\right)^{30}\cdot \left(\frac{8}{9}\right)^{30} \approx 0.0307$.
(Более точная оценка $0.263-0.0307 \approx 0.232$.)
2) Аналогично, оценка $9\cdot \left(\frac{8}{9}\right)^{150} \approx 1.91\cdot 10^{-7}$.
Следующая поправка (она же - оценка точности) $\frac12 \cdot 8\cdot 9\cdot \left(\frac{8}{9}\right)^{150}\cdot \left(\frac{8}{9}\right)^{150} \approx 1.62\cdot 10^{-14}$.
3) Оценка $p = 9\cdot\left(\sum_{k=0}^9 \binom{150}{k}(\frac19)^k (\frac89)^{150-k}\right) \approx 0.220$.
Оценка погрешности $4\cdot9\cdot(\frac{p}{9})^2 \approx 0.0215$.

[Skipper]

Оценка $p = 9\cdot\left(\sum_{k=0}^9 \cdot C_{150}^k(\frac19)^k (\frac89)^{150-k}\right) \approx 0.220$.

такая формула получается, если всего корзин или другими словами, ячеек $9$, шаров бросаем $150$, а ситуации рассматриваем, для случая, если "бросить 150 шаров, то с какой вероятностью останется хотя бы одна корзина, с менее чем 10 шарами ?"

Ну тогда получается общая формула для типа 3 задач в стартовом сообщении темы, c $9$ корзинами (ячейками),

Цитата:

4) если бросить $N=80$ шаров, то с какой вероятностью будет хотя бы одна корзина, с менее чем $M=2$ -мя шарами?

Т.е. для $9$ ячеек, $N$ - количество бросков шаров, $M$ - количество шаров, меньше которого должна иметь в итоге хотя бы одна ("минимальная") корзина. Т.е. хотя бы одна корзина не удовлетворяет этому требованию $M$.

Оценка $p = 9\cdot\left(\sum_{k=0}^{M-1} \cdot C_{N}^k(\frac19)^k (\frac89)^{N-k}\right) $.

подставляем, и получим,
Оценка $p = 9\cdot\left(\sum_{k=0}^{1} \cdot C_{80}^k(\frac19)^k (\frac89)^{80-k}\right) $.
это равно,

$p = 9\cdot\ C_{80}^0(\frac19)^0 (\frac89)^{80-0} + 9\cdot\ C_{80}^1(\frac19)^1 (\frac89)^{80-1} $
это равно
$p = 9 \cdot\ 1 \cdot\ 1 \cdot\ (\frac89)^{80} + 9 \cdot 80 \cdot (\frac19) (\frac89)^{79} $
равно
$p \approx 0,000727 + 80 \cdot (\frac89)^{79} \approx 0,000727 + 0,00727 $
и,
$p \approx 0.007997 $
значит, ответ на вопрос-

Цитата:

4) если бросить $N=80$ шаров, то с какой вероятностью будет хотя бы одна корзина, с менее чем $M=2$ -мя шарами?

вероятность,
$ p \approx 0.8 $ %,
а по моим прикидкам, выходило что должно быть около $0.2$ %, значит что-то я не так насчитал.
После 40 бросков почти стопроцентно будут заполнены все ячейки так что только в одной из 9-ти скорее всего останется только 1 шар (в остальных их будет ещё больше), а далее чтобы ещё 40 попыток подряд шары не падали именно в эту ячейку..

Я лично столкнулся с этой ситуацией (потому то и тему создал, стало интересно), в одной из комп. игр, только там не шары были, а чертежи, вот так- 80 чертежей строения там упало, а падали они равновероятно в 9 ячеек. И после 80-ти выпадений, ещё оставалась одна ячейка с заполненным только 1 чертежом. (она заполнилась вторым, только на 81-м общем выпадении).
Выходит, я "словил" событие с вероятностью $0.8$ % ?

-- Ср июн 14, 2023 21:33:38 --

когда такой ситуацией сталкиваюсь, то конечно, поражаюсь от удивления,

[zykov]

Да, формула такая.
Это приближенная формула (для малых вероятностей).
Формула $\sum_{k=0}^9 \cdot C_{150}^k(\frac19)^k (\frac89)^{150-k}$ даёт точную вероятность того что в какой-то одной выбранной корзине (например в первой) будет менее 10 шаров (0, 1, 2, ... 8, 9).
Если эта вероятность мала, то вероятность что "хоть в какой-то будет меньше 10" можно приближенно оценить умножив на количество корзин.

Ну, 0.8% не так уж страшно. Примерно один из 100.
Но может и в игре есть какой перекос.

[Combat Zone]

Если уж на то пошло, вычислительной техники никто не отменял, и можно найти значения вероятностей со сколь угодно разумной точностью.

#задача 3
In[1]:= N[1-(1-CDF[BinomialDistribution[150,(1/9)],9])^9,10]
Out[1]= 0.1995865575
#задача 1
In[2]:= 1-N[(9!/9^30)*StirlingS2[30,9],10]
Out[2]= 0.2441192346
#задача 2
In[3]:= 1-N[(9!/9^150)*StirlingS2[150,9],15]
Out[3]= 1.91145527*10^-7

В сформулированной напоследок задаче не буду лишать удовольствия подставить значения самостоятельно.

[Skipper]

Цитата:

Ну, 0.8% не так уж страшно. Примерно один из 100.

есть события заслуживающие внимание. Например, играли мы с Назаром и Слипом в карты в тысячу. Там колода от 9-к, т.е. 6 достоинств всего - от девяток до тузов. После того как один покартовал, второй пальцем должен снять часть колоды. Если внизу оказывается 9-ка, то картуется заново и снова снимающий - второй раз снимает. Если снова 9-ка, то картуется третий раз и снова снимающий снимает. Ессли снова внизу оказывается 9-ка, то снимающий получает минус 100 очков, т.е. у него они вычитаются с общей суммы. Вот такие прикольные правила. Вероятность так снять один раз - равна 1/6, следовательно три раза подряд - так снять 1/216. То есть 0,4 %.

Если бы так долго играли, то когда то подобные случаи были бы, так что было бы событие НЕзаслуживающее внимание. Потому что на большом множестве исходов - вероятность растёт. Но вот я был свидетелем этого же события, с такой вероятностью, 1/216. То есть 0,4 %. которое ЗАСЛУЖИВАЕТ внимания.

Играли мы недолго, было максимум пару десятков раздач. Но перед одной их них, Назар, по приколу сказал Слипу - "вот ты прямо счас мне снимешь три раза подряд так что будет 9-ка внизу, и получишь минус сто очков за это". Картует. Слип снимает первый раз - внизу 9-ка. То же второй раз. Картует, тот снимает - девятка. И то же третий раз - Назар картует, а он снова снимает, и третий раз подряд - внизу 9-ка.

Это что? Событие которое не заслуживает внимания?

Так и в моём случае, если бы я набирал эти чертежи в компьютерной игре много раз, то не удивился бы своим этим 0.8%.
Но такое случилось на второй попытке подобного действия.

[Combat Zone]

Skipper в сообщении #1598925 писал(а):

Но такое случилось на второй попытке подобного действия.

Попытка не знала, что она всего лишь вторая.