Все шары в последней коробке

[kthxbye]

Пусть у нас имеется $n$ шаров, которые изначально находятся в первой из $n$ пронумерованных коробок. Обозначим через $a(n)$ количество шагов (определение шага см. ниже), после осуществления которых все шары оказываются в последней коробке. Здесь шаг состоит изначально в определении $j$, т.е. коробки с наименьшим номером в которой есть по крайней мере один шар. Если шар всего один, то мы перемещаем его в коробку с номером $j+1$; в противном случае (когда количество шаров - $k$, такое, что $k>1$), мы перемещаем $\left\lfloor\frac{k}{2}\right\rfloor$ шаров в коробку с номером $j+1$, а также (за исключением для первой коробки) $\left\lfloor\frac{k}{2}\right\rfloor$ шаров в коробку с номером $j-1$.

Пусть также $\operatorname{wt}(n)$ - это A000120, т.е. двоичный вес $n$ или количество единиц в двоичной записи $n$. Здесь

$$\operatorname{wt}(2n+1)=\operatorname{wt}(n)+1, \operatorname{wt}(2n)=\operatorname{wt}(n), \operatorname{wt}(0)=0$$

Тогда если

$$b(n)=n(n+1)-\sum\limits_{k=0}^{n}\operatorname{wt}(k)$$

то я предполагаю, что

$$a(n)=2b(n-1)$$

Вот простенькая программка на PARI для проверки:

a(n)=my(A, B, v); v=vector(n, i, 0); v[1]=n; A=0; while(v[n]!=n, B=1; while(v[B]<1, B++); v[B+1]+=if(v[B]==1,1,v[B]\2); if(B>1,v[B-1]+=v[B]\2); v[B]-=if(v[B]==1,1,(1+(B>1))*(v[B]\2)); A++); A
b(n)=n*(n+1) - sum(k=0,n,hammingweight(k))
test(n)=a(n)==2*b(n-1)

Существует ли способ как-то это доказать?