2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Добить ответ к уравнению с параметром
Сообщение29.05.2023, 06:52 


02/01/23
76
Найти $k$, чтоб уравнение имело решения
$\cos\left(kx\right)=1+2\cos^2\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{x}{2}\right)$
Переходим к равносильной системе
$\left\{\begin{matrix}
\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{x}{2}\right)=0\\
\cos\left(kx\right)=1
\end{matrix}\right.$
Из первого уравнения:
$x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,n\in\mathbb{Z}$
Подставим полученное во второе, решим и получим:
$k\left(\dfrac{\pi}{2}+2\pi n\right)=2\pi m,\left\{m,n\right\}\subset\mathbb{Z} $
Тогда для $k$ подходят все числа вида $k=\dfrac{4m}{4n+1},\left\{m,n\right\}\subset\mathbb{Z}$
Достаточно легко доказать, что множество значений $k$ бесконечно и счетно.
А вот дальше возникает вопрос.
Рассмотрим $m=n=1$. Тогда $k=\dfrac{4}{5}$.
Решим в цел. числах $\dfrac{4m}{4n+1}=\dfrac{4}{5}$
$\\m=4t+1\\n=5t+1\\t\in\mathbb{Z}$
То есть, у нас есть бесконечно много пар, дающих тот же $k$.
Возможно ли в $k=\dfrac{4m}{4n+1}$ заменить $m$ и $n$ такими функциями от цел. $p$ и $q$, чтоб каждая пара $\left(p,q\right)$ давала различные $k$ без потери значений?
Спасибо.

-- 29.05.2023, 06:00 --

Опечатку в системе исправил
Но теперь запутался в решении

 Профиль  
                  
 
 Re: Добить ответ к уравнению с параметром
Сообщение29.05.2023, 09:35 


26/08/11
2149
WinterPrimat в сообщении #1595705 писал(а):
Возможно ли в $k=\dfrac{4m}{4n+1}$ заменить $m$ и $n$ такими функциями от цел. $p$ и $q$, чтоб каждая пара $\left(p,q\right)$ давала различные $k$ без потери значений?
Нет, но можете написать что $k$ - любое рациональное число, числитель которого делится на $4$

 Профиль  
                  
 
 Re: Добить ответ к уравнению с параметром
Сообщение29.05.2023, 09:57 


02/01/23
76
Shadow
Спасибо

-- 29.05.2023, 09:14 --

Я нашел у себя логическую ошибку.
Если корни есть, то они принадлежат множеству $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,n\in\mathbb{Z}$.
И тогда $k=\cdots$ и т. д. То есть, необходима проверка подстановкой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Добить ответ к уравнению с параметром
Сообщение29.05.2023, 10:53 
Аватара пользователя


11/12/16
14705
уездный город Н
Shadow в сообщении #1595719 писал(а):
Нет, но можете написать что $k$ - любое рациональное число, числитель которого делится на $4$


$4/7$ не подходит, например.
Числитель должен делиться на $4$, а знаменатель равен $1$ по модулю $4$.


Да, Вы правы. Знаменатели $0$ и $2$ по модулю $4$ не подходят, так как сокращаются с числителем. А знаменатели $3$ по модулю $4$ можно на такой же домножить, и получится $1$ по модулю $4$ -- что и нужно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group