Задача о погоне

[Draeden]

Интересная задачка с одного форума: Есть система координат в начале которой находиться некоторая точка, в неком другом месте з заданными координатами начинает движение с известной скоростью другая точка. Первая двигается так, чтобы всегда находиться на линии соединяющей начало координат и другую точку. Какой вид имеет траектория движения первой точки?

Возникает система

$x'^2(t)+y'^2(t)=v_2^2$
$((x(t)-v_1t)^2+y^2(t))x'^2(t)=v_2^2(x(t)-v_1t)^2$
$((x(t)-v_1t)^2+y^2(t))y'^2(t)=v_2^2y^2(t)$
$x(0)=0$
$y(0)=h$

Непонятно как её решать...

[antbez]

Нельзя ли параметризовать?

[Henrylee]

Ощущение, что в общем виде решить нельзя или очень трудно, а главное зачем? Чтобы потом подставлять в это общее уравнение данные первой кривой? Так лучше сразу решать задачу для конкретной кривой, уравнения будут проще.
Например в этой теме есть уравнение для случая, когда первая точка движется по окружности.

[ewert]

А она (кривая) и так вполне конкретная. Это обычная задача Коши для системы из двух ДУ первого порядка. (Первая строчка -- формально избыточна).

И решается -- формально -- без особого труда. После подстановки $x(t)-v_1t=\tilde x(t)$ время в уравнения уже явно не входит, и для функции $y(\tilde x)$ получается уравнение 1-го порядка с однородной правой частью. Кажется, там и интеграл явно берётся, только доводить до конца лень.

А вот чего я совершенно не понял -- так это исходной постановки задачи. Кто-то куда-то за кем-то бежит, а кто, куда, за кем и зачем -- совершенно неясно.

[Henrylee]

ewert То есть как это? Выходит траектория движения догоняющей точки не зависит от того, по какой траектории бежит убегающая?
А... или там убегающая прямолинейно движется..

[Brukvalub]

Вот товет к этой задаче: http://bse.sci-lib.com/article090177.html

[faruk]

Brukvalub писал(а):

Вот товет к этой задаче: http://bse.sci-lib.com/article090177.html

Кривая погони - это кривая движения точки в направлении другой движущейся точки.
В данной же задаче отслеживающая точка должна учитывать еще и точку начала координат.


PS
Кстати, тоже интересно: http://en.wikipedia.org/wiki/Tractrix