Как представить себе многомерные пространства?

[BrainDrain-]

Как представить себе многомерные пространства? Хотя бы 3-ех и 4-ех мерные.

[ИСН]

Здравствуй, о любознательный юный друг из плоского мира! У нас здесь трёхмерное пространство все познают на опыте, в младенческом возрасте. С четырёхмерным сложнее...

[Brukvalub]

BrainDrain- писал(а):

Как представить себе многомерные пространства? Хотя бы 3-ех и 4-ех мерные.

Выйдите сейчас во двор, и перед Вами во всей своей красе раскинется трехмерное пространство.

[BrainDrain-]

Можете смеяться, но просто я слышал, что то, что в жизни мы называем трехмерным пространством в математике является двухмерным.

[Henrylee]

BrainDrain- писал(а):

Можете смеяться, но просто я слышал, что то, что в жизни мы называем трехмерным пространством в математике является двухмерным.

Смийомса

[TOTAL]

Brukvalub писал(а):

Выйдите сейчас во двор, и перед Вами во всей своей красе раскинется трехмерное пространство.

Выйдите во двор -- и перед Вами во всей своей красе раскинется двумерное пространство.
Взберитесь на крышу высотки, подойдите к самому краю -- и перед Вами во всей своей красе раскинется трёхмерное пространство.

[BrainDrain-]

Хорошо, тогда не трех и четырех, а четырех и пяти.

[bubu gaga]

Если интернет безлимитный, то могу порекомендовать вот этот расширяющий сознание фильм с русскими субтитрами.

http://dimensions-math.org/Dim_download2_E.htm

Субтитры внутри архива.

[BrainDrain-]

Нет, не безлимитный.

[PaulS]

BrainDrain-
Четырехмерное пространство можно предствить себе также как и трехмерное, только добавать координату по времени.
Вот и получится 4 измерения: длина, высота, ширина, время.

[Narn]

Лучше всего взять какую-нибудь хорошую книгу по линейной алгебре (Кострикин, Манин, Линейная алгебра и геометрия, например, скачать можно здесь : http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.cgi?lang=ru&st=%D0%9A%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BD+%D0%9C%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BD&network=1) и потратить около семестра на изучение (нисколько не шучу, я лично учил по Постникову, довольно поздно, в самом конце 11 класса - начале первого курса, Лекции по геометрии, Семестры 1 и 2, найти можно с помощью того же сайта). Прелесть в том, что особых предварительных знаний не требуется, школьнику доступно. Есть и попроще книги, эта как раз может быть сложновата.

Если коротко и не очень правильно, то обычное пространство трехмерное, так как для задания точки этого пространства требуется (при выбранных начале отсчета и осях) знать три числа - координаты в этой системе. Тогда (при фиксированной системе отсчета) можно сказать, что точка пространства - это упорядоченная тройка чисел, плоскости - упорядоченная пара. Ну и точкой четырехмерного пространства назовем упорядоченный набор четырех чисел. Четвертое измерение можно воспринимать как время, но не следует этим особо увлекаться (до изучения глав про псевдоевклидово пространство и пространство Минковского, и спец. теории относительности). Можно, конечно побаловаться, например, представляя себе сферу в четырехмере так: в момент времени $-1$ имеем точку, время течет - точка разбухает в сферу, в 0 момент времени сфера достигает наибольшего радиуса и начинается сужение до схлопывания в точку в момент времени 1. Но лучше сказать, что сфера в четырехмерном пространстве с центром в начале координат и радиуса 1 - это множество упорядоченных четверок вещественных чисел $(x_1,x_2,x_3,x_4)$, таких, что $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1$. Вообще, в математике многомерные пространства нужны именно для того, чтобы говорить о таких уравнениях и прочих объектах с использованием языка, приближенного к нашей геометрической интуиции.

А вообще это не такие простые вопросы, и надо понять, зачем Вам это - для общего развития, а на мехмат Вы не собираетесь, или как.

PS. Из "Занаучного юмора": "представить себе четырехмерное пространство очень просто. Достаточно вообразить 4 перпендикулярных друг другу вектора"

[Алексей К.]

Порешайте задачи типа

$$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\mbox{2 свиньи и 3 коровы стоят 5100 руб.,}\\ \mbox{3 свиньи и 2 коровы стоят 4900 руб.,}\end{array}\right.\\ \mbox{сколько стоит каждая скотинка?}\end{array}$$

Хорошо порешайте, графически, увидьте там прямые, точку пересечения. Разберите возможные решения только одного, например, первого уравнения. Поймите, почему именно прямая образовалась. Поменяте условие. Ведь если 2 свиньи и 3 коровы стоят 5100 руб., то 4 свиньи и 6 коров наверняка стоят 10200 руб.. И если в задаче

$$\left\{\begin{array}{l}\mbox{2 свиньи и 3 коровы стоят 5100 руб.,}\\ \mbox{4 свиньи и 6 коров стоят 10200 руб.,}\end{array}\right.$$

10200 заменить на, скажем, 10000, то таких свиней-коров-цен-чисел просто не может быть! И как тогда трактовать точку пересечения прямых, которая дала нам решение в первой задачке? И что будет, если оставить 10200 руб., не признаваясь, откуда взялось это число, и что таким уравением мы никакой новой информации в задачу на самом деле не добавили? Как поведут себя прямые и точка их пересечения?

Хорошо порешайте, прежде чам добавить третью координату, например, баранов, и третье уравнение.
Прямые превратятся в плоскости, две плоскости в пересечении дадут прямую, а в пересечении с третьей плоскостью (с третьим уравнением, если угодно) --- искомую точку. Хорошо порешайте, посмотрите разнообразие вариантов --- две плоскости параллельны, все параллельны, никакие не параллельны. Надо решать и рисовать, или ещё как-то конструировать --- гвоздики в стол вбивать, плоскости из тряпочек натягивать...

Работы много, но зато с добавлением в задачу козочек переход в 4-х мерное пространство с параллельными или непараллельными гиперплоскостями будет простым. Дальше --- слоники, жирафы, --- на Ваш вкус.

Но без труда не выловишь рыбку из пруда.

[faruk]

BrainDrain- писал(а):

Как представить себе многомерные пространства? Хотя бы 3-ех и 4-ех мерные.

Геометрической интерпретацией решения системы двух линейных уравнений является точка пересечения двух прямых в плоскости, т.е. в 2-х мерном пространстве.

Геометрической интерпретацией решения системы трех линейных уравнений является точка пересечения трех плоскостей в 3-х мерном пространстве.

Геометрической интерпретацией решения системы четырех линейных уравнений является... что?

[BrainDrain-]

Цитата:

Геометрической интерпретацией решения системы четырех линейных уравнений является... что?

Пересечение "чего-то" в четырехмерном пространстве. Но что такое это "чего-то".

[faruk]

Narn писал(а):

Из "Занаучного юмора": "представить себе четырехмерное пространство очень просто. Достаточно вообразить 4 перпендикулярных друг другу вектора"

Цитата:

Не пытайтесь представить n-мерный куб. Представить еще никто не смог, а в дурдом переехали многие.

http://bars-minsk.narod.ru/an.html

Добавлено спустя 14 минут 51 секунду:

Re: Помогите понять школьнику.

BrainDrain- писал(а):

Пересечение "чего-то" в четырехмерном пространстве. Но что такое это "чего-то".

Надо попытаться продолжить аналогию с помощью формальной логики. Не всё можно понять, опираясь только на здравый смысл. Тем более в математике.