Определение степени с иррациональным показателем

[Xo4y3HaTb]

Всем привет! Помогите, пожалуйста, разобраться в последних 2 предложения определения степени с иррациональным показателем. Определение взято из учебника алгебры 10-11 класс, Мордкович.
Определение. Пусть a > 1 и $\alpha$ = $a,a_1,a_2,a_3, ... a_n ...$ - положительное иррациональное число (бесконечная десятичная непериодическая дробь). Составим последовательность десятичных приближений числа $\alpha$ по недостатку: $\alpha_1 = a,a_1, \alpha_2 =a,a_1a_2, ..., \alpha_n = a,a_1a_2a_3 ... a_n, ... $. Тогда предел последовательности $a^{\alpha_1}, a^{\alpha_2}, a^{\alpha_3}, ..., a^{\alpha_n}, ...$ обозначают $a^\alpha$ и называют степенью с иррациональным показателем. Если a > 1 и $\alpha$ < 0 - иррациональное число, то под $a^\alpha$ будем понимать число $\frac{1}{a^{-\alpha}}$. Если 0 < a < 1, то под $a^\alpha$ будем понимать число $(\frac{1}{a})^{-\alpha}$.
Вопрос: для чего нужны последние 2 предложения в определении? Почему нельзя закончить определение на жирном шрифте? Я окончательно запутался. Ведь в последних двух предложениях написаны тождественные равенства, вне зависимости от того, какого знака показатель степени и какое значение принимает a. Полагаю, что это делается для "облегчения", но в чём оно заключается? Например: для чего мне под простой записью числа $(\frac{1}{2})^\sqrt{3}$ понимать число $(\frac{1}{1/2})^{-\sqrt{3}}$ ? Помогите, пожалуйста, понять суть)

[mihaild]

Xo4y3HaTb в сообщении #1594753 писал(а):

Ведь в последних двух предложениях написаны тождественные равенства, вне зависимости от того, какого знака показатель степени и какое значение принимает a.

Не совсем так. При подходе Мордковича, это определение, и до того, как оно дано, вообще нельзя говорить о, например, степенях чисел, меньших единицы.
Можно, конечно, сразу определить $a^\alpha$ как предел $a^{\alpha_n}$, где $\alpha_n$ - последовательность десятичных приближений к $\alpha$. Но тогда получается чуть больше слов при доказательстве, что такой предел действительно существует, и, возможно, будет чуть менее удобно рассуждать про свойства.

После того, как всё это проговорено, можно благополучно забыть про детали, и оперировать со степенью с вещественным показателем так же, как и со степенью с рациональным.

[Xo4y3HaTb]

mihaild в сообщении #1594758 писал(а):

Не совсем так. При подходе Мордковича, это определение, и до того, как оно дано, вообще нельзя говорить о, например, степенях чисел, меньших единицы.
Можно, конечно, сразу определить $a^\alpha$ как предел $a^{\alpha_n}$, где $\alpha_n$ - последовательность десятичных приближений к $\alpha$. Но тогда получается чуть больше слов при доказательстве, что такой предел действительно существует, и, возможно, будет чуть менее удобно рассуждать про свойства.

Постарался обмозговать, то что вы написали. Правильно ли понимаю, что, если закончить определение на жирном шрифте, то у нас не будет понимания, что является значением, например, такой степени $(\frac{1}{2})^\sqrt{3}$? Поэтому необходимо исходя из "2го если в определении" представить данное выражение в виде $(\frac{1}{1/2})^{-\sqrt{3}}=(2)^{-\sqrt{3}}$. Но как находить значение такого выражения мы также не знаем, поэтому исходя из "1го если в определении" необходимо представить это выражение в виде $\frac{1}{2^\sqrt{3}}$. Значение знаменателя т.е. степень уже известно как находить, исходя из "1 части определения" определения, т.к. $ a>1 (a=2), \alpha>0(\alpha = \sqrt{3}$)

[mihaild]

Да, всё так. Если от определение оставить только

Xo4y3HaTb в сообщении #1594753 писал(а):

Пусть a > 1 и $\alpha$ = $a,a_1,a_2,a_3, ... a_n ...$ - положительное иррациональное число (бесконечная десятичная непериодическая дробь). Составим последовательность десятичных приближений числа $\alpha$ по недостатку: $\alpha_1 = a,a_1, \alpha_2 =a,a_1a_2, ..., \alpha_n = a,a_1a_2a_3 ... a_n, ... $. Тогда предел последовательности $a^{\alpha_1}, a^{\alpha_2}, a^{\alpha_3}, ..., a^{\alpha_n}, ...$ обозначают $a^\alpha$ и называют степенью с иррациональным показателем.

то мы не сможем записывать $\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{3}}$.

[Xo4y3HaTb]

Понял! Спасибо большое за помощь!

[B@R5uk]

Можно вообще от степени отказаться и пользоваться каконичными экспонентой и натуральным логарифмом.

[Евгений Машеров]

Xo4y3HaTb в сообщении #1594753 писал(а):

Вопрос: для чего нужны последние 2 предложения в определении? Почему нельзя закончить определение на жирном шрифте?

Потому, что определение опирается на существование предела. И для $a>1$ и $\alpha>0$ есть очевидное доказательство существования - последовательность неубывает и ограничена. И, доказав для этого ограниченного случая, даётся определение степени для общего случая, на основе уже известных соотношений для степеней. Можно было бы пойти иным путём, и давать доказательство существования предела для общего случая, но объём бы возрос, так как надо было бы доказывать для всех четырёх вариантов.

[Xo4y3HaTb]

Евгений Машеров в сообщении #1594917 писал(а):

Потому, что определение опирается на существование предела. И для $a>1$ и $\alpha>0$ есть очевидное доказательство существования - последовательность неубывает и ограничена. И, доказав для этого ограниченного случая, даётся определение степени для общего случая, на основе уже известных соотношений для степеней. Можно было бы пойти иным путём, и давать доказательство существования предела для общего случая, но объём бы возрос, так как надо было бы доказывать для всех четырёх вариантов.

Да я так и понял. Спасибо!) Перед определением использовался только пример $2^\sqrt{3}$ и говорилось, что по теореме Вейерштрасса, когда последовательность возрастает и ограничена, то она имеет предел, но не было речи об убывающей последовательности. Когда дойду до Фихтенгольца, интересно будет посмотреть как там даётся определение) Кстати, возник вопрос, а мы разве можем пользоваться соотношениями для степеней с иррациональными показателями? В учебнике было только определение для обыкновенной дроби. Определение: Если $\frac{p}{q}$ - обыкновенная дробь $(q\not =1)$ и $a>0$, то под $ a^{-\frac{p}{q}}$ понимают $\frac{1}{a^\frac{p}{q}}$. Но не говорилось, что можно делать тоже самое с иррациональным показателем в степени. Это либо очевидно (но не мне), либо может я слишком дотошен для школьного учебника?

[mihaild]

Так мы не пользуемся этими соотношениями. Мы (в лице Мордковича) определяем степень с иррациональным показателем так, чтобы эти соотношения выполнялись.
Можно было бы определить её для всех случаев через пределы, и тогда нужно было бы эти соотношения доказывать.

[zykov]

Xo4y3HaTb в сообщении #1595017 писал(а):

Но не говорилось, что можно делать тоже самое с иррациональным показателем в степени.

Так у Вас это тоже даётся как определение:

Xo4y3HaTb в сообщении #1594753 писал(а):

Если a > 1 и $\alpha$ < 0 - иррациональное число, то под $a^\alpha$ будем понимать число $\frac{1}{a^{-\alpha}}$.

[Xo4y3HaTb]

Ааа всё теперь точно понятно! Народ спасибо!

Евгений Машеров в сообщении #1594917 писал(а):

И, доказав для этого ограниченного случая, даётся определение степени для общего случая, на основе уже известных соотношений для степеней.

Т.е. нам стали известны эти соотношения, когда было дано определение, но не до этого как я подумал изначально.

mihaild в сообщении #1595018 писал(а):

Можно было бы определить её для всех случаев через пределы, и тогда нужно было бы эти соотношения доказывать.

Подскажите, а есть ли учебники (не обязательно школьные, конечно), где именно таким образом определяется предел и доказываются соотношения? Чтобы закрепить материал, так сказать.

[vpb]

Xo4y3HaTb в сообщении #1595082 писал(а):

Подскажите, а есть ли учебники (не обязательно школьные, конечно), где именно таким образом определяется предел и доказываются соотношения? Чтобы закрепить материал, так сказать.

Не предел только, а степень через предел. Может и есть такие, но ваше намерение закрепить материал таким образом, имхо, излишне. Да и учебников с таким ходом изложения, возможно, нет. Если вы такой дотошный, лучше почитайте теорию вещественных чисел по книжке Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 1. (То, что там по другому излагается, чем в Мордковиче, не означает, что в Мордковиче что-то не то).

[Xo4y3HaTb]

vpb в сообщении #1595087 писал(а):

Не предел только, а степень через предел. Может и есть такие, но ваше намерение закрепить материал таким образом, имхо, излишне. Да и учебников с таким ходом изложения, возможно, нет. Если вы такой дотошный, лучше почитайте теорию вещественных чисел по книжке Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 1. (То, что там по другому излагается, чем в Мордковиче, не означает, что в Мордковиче что-то не то).

Да, извиняюсь, степень а не предел. Попробовал самостоятельно определить степень для 4 случаев и вроде всё получилось. Ни в коем случае не подразумевал, что в Мордковиче что-то не то. Как закончу со школьным учебником, обязательно возьмусь за Фихтенгольца, как раз есть этот учебник дома!) Спасибо!