2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дробные производные на оси
Сообщение17.05.2023, 12:47 


05/03/18
55
Доброго времени суток!
Пытаюсь разбираться с дробными производными по книге Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения.
Всюду ниже $0<\alpha<1$.
Выражение $$(I^\alpha f)(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int\limits_{-\infty}^x \frac{f(t)}{(x-t)^{1-\alpha}}dt$$ будем называть дробным интегралом порядка $\alpha$ (стр. 85).
Выражение $$(\mathcal{D}^\alpha f)(x)=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{d}{dx}\int\limits_{-\infty}^x \frac{f(t)}{(x-t)^\alpha}dt$$ будем называть дробной производной порядка $\alpha$.
Выражение $$(D^\alpha_\varepsilon f)(x)=\frac{\alpha}{\Gamma(1-\alpha)}\int\limits_{\varepsilon}^\infty \frac{f(x)-f(x-t)}{t^{1+\alpha}}dt$$ будем называть усеченной дробной производной Маршо порядка $\alpha$ (стр. 96).
Обозначим через $I^\alpha(L^1)$ образ оператора дробного интегрирования $$I^\alpha(L^1)=\{f:f(x)=I^\alpha\varphi, \varphi\in L^1(\mahtbb{R})\}$$
Теорема 6.1. (стр. 106). Пусть $f(x)=I^\alpha \varphi, \varphi \in L^1(\mathbb{R})$. Тогда $\varphi(x)=(D^\alpha f)(x)$, где $D^\alpha f$ понимается как
$$
(D^\alpha f)(x)=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}(D^\alpha_\varepsilon f)(x)
$$
для почти всех $x$.
Теорема 6.5. (стр. 111). Пусть $f\in H^1(\mathbb{R})$, то есть липшицева, тогда
$$
|(D^\alpha_\varepsilon f)(x)|\leqslant c(1+|x|)^{-1-\alpha}\ln(2+|x|), 
$$
где $c$ не зависит от $x$ и $\varepsilon$.
Правильно ведь, что если функция $f$ - липшицева и $f\in I^\alpha(L^1)$, то на основании теорем 6.5 и 6.1, $|(D^\alpha f)(x)|\leqslant c(1+|x|)^{-1-\alpha}\ln(2+|x|)$ п.в.? То есть липшицевость $f$ дает нам оценку на ее дробную производную.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Skipper


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group