Кострикин22.5. Объединение множеств корней комплексных чисел

[Alexander__]

Доказать, что объединение множеств $\sqrt[n]{z}$ и $\sqrt[n]{-z}$ есть множество $\sqrt[2n]{z^2}$.

---

Можно написать формулы и доказать. Верно ли я понимаю геометрически?, что:
1. множество $\sqrt[n]{-z}$ на плоскости является правильным многогранником с $n$ вершинами
2. $\sqrt[n]{-z}$ отражает этот многогранник относительно начала координат
3. объединение этих двух множеств даёт правильный многогранник с $2n$ вершинами

И не могу понять откуда геометрически получается $z^2$?

[TOTAL]

Alexander__ в сообщении #1594126 писал(а):

Можно написать формулы и доказать. Верно ли я понимаю геометрически?, что:
1. множество $\sqrt[n]{-z}$ на плоскости является правильным многогранником с $n$ вершинами
2. $\sqrt[n]{-z}$ отражает этот многогранник относительно начала координат

Проверяйте это понимание. Например, $n=2, z=1$

[Sinoid]

Alexander__ в сообщении #1594126 писал(а):

1. множество $\sqrt[n]{-z}$

Alexander__ в сообщении #1594126 писал(а):

2. $\sqrt[n]{-z}$

Вы точно хотели в этих двух случаях под корнем написать одно и то же число/переменную?

[Combat Zone]

На мой взгляд, проще доказывать это утверждение, пользуясь определением корня. Получится совсем в одну строку.

[Alexander__]

TOTAL в сообщении #1594131 писал(а):

Alexander__ в сообщении #1594126 писал(а):

Можно написать формулы и доказать. Верно ли я понимаю геометрически?, что:
1. множество $\sqrt[n]{z}$ на плоскости является правильным многогранником с $n$ вершинами
2. $\sqrt[n]{-z}$ отражает этот многогранник относительно начала координат

Проверяйте это понимание. Например, $n=2, z=1$

Вы правы. Не отражение, а поворот на $\pi$. Многогранник соответственно повернётся на угол $\frac{\pi}{n}$.

Объяснение по поводу модуля такое. Корней стало $2n$, поэтому корень из $z$ должен быть степени $2n$. Числам $\sqrt[n]{z}$ и $\sqrt[n]{-z}$ соответствуют одинаковые многогранники с разными поворотами. Поэтому модуль числа поменяться не должен. Поэтому будет $|z|^2$.

-- 17.05.2023, 17:16 --

Sinoid в сообщении #1594142 писал(а):

Alexander__ в сообщении #1594126 писал(а):

1. множество $\sqrt[n]{-z}$

Alexander__ в сообщении #1594126 писал(а):

2. $\sqrt[n]{-z}$

Вы точно хотели в этих двух случаях под корнем написать одно и то же число/переменную?

Опечатка. В пункте 1 должно быть $\sqrt[n]{z}$.

[Alexander__]

Combat Zone в сообщении #1594185 писал(а):

На мой взгляд, проще доказывать это утверждение, пользуясь определением корня. Получится совсем в одну строку.

Решение по определению. Множество $\sqrt[2n]{z^2}$ содержит такие $w$, что $w^{2n}=z^2$, тогда $w^{2n}-z^2=0$, тогда $(w^n-z)(w^n+z)=0$. Откуда $w^n=z$ или $w^n=-z$, т.е. $w=\sqrt[n]{z}$ или $w=\sqrt[n]{-z}$.

Решение ч/з тригонометрическое представление. $\sqrt[2n]{z^2}=\sqrt[n]{|z|} (\cos \alpha + i \sin \alpha), \alpha=\frac{\varphi+\pi k}{n}$. Модули чисел $\sqrt[2n]{z^2}$, $\sqrt[n]{z}$ и $\sqrt[n]{-z}$ совпадают. Вопрос: убедительно ли, что множество $\alpha$ в такой форме содержит два множества:
1. $\frac{\varphi + 2 \pi k_1}{n}$ , где $k_1 = \frac{k}{2}$, т.е. аргумент числа $\sqrt[n]{z}$
2. $\frac{\varphi + \pi + 2 \pi k_2}{n}$, где $k_2 = \frac{k-1}{2}$, т.е. аргумент числа $\sqrt[n]{-z}$

[Combat Zone]

Alexander__ в сообщении #1595637 писал(а):

тогда

Тут ценно, что вместо всех "тогда" и "оттуда" можно поставить, на деле, стрелку в обе стороны.

[Red_Herring]

Alexander__ в сообщении #1594126 писал(а):

правильный многогранник

И где ж вы видели многогранник на плоскости?

[Alexander__]

Red_Herring в сообщении #1595736 писал(а):

Alexander__ в сообщении #1594126 писал(а):

правильный многогранник

И где ж вы видели многогранник на плоскости?

Многоугольник