Два 4-вектора скорости в ОТО?

[Divergence]

1) Рассмотрим два 4-вектора скорости $u^{\mu}$ и $v^{\mu}$ такие, что

$$ u_{\mu} \, u^{\mu} \, = \, - \, 1 , \quad v_{\mu} \, v^{\mu} \, = \, - \, 1 . \quad (1.1) $$

где подразумевается суммирование по повторяющимся индексам и $u_{\mu} \, u^{\mu} \, := \, g^{\mu \nu} u_{\mu} \, u_\nu}$.

Вопрос 1.1: Могут ли эти два вектора быть перпендикулярно, а именно удовлетворять условию

$$ u_{\mu} \, v^{\mu} \, = \, 0 . \quad $$

Если могут, то Вопрос 1.2: Каков может быть физический смысл 4-вектора

$$ V^{\mu} \, := \, a \, u^{\mu} \, + \, b \, v^{\mu} , $$

где $a$ и $b$ - некоторые вещественные числа.


2) Рассмотрим произвольный 4-вектор $V^{\mu}$.

Вопрос 2: Можно ли любой четырех вектор представить как разложение по 4-векторам $u^{\mu}$ и $v^Х\mu}$ так, что выполняются условия (1.1) и (1.2)
в виде

$$ V^{\mu} \, := \, a \, v^{\mu} \, + \, b \, v^{\mu} , $$

где $a$ и $b$ - некоторые вещественные числа

3) Известно, что если есть вектор $u^{\mu}$, то для вектора $V^{\mu}$ можно построить вектор

$$ w_{\mu} \, := \, (g_{\mu \nu} \, + \, c^{-2} \, u_{\mu} \, u_{\nu}) \, V^{\nu} , $$

для которого выполняется условие

$$ w_{\mu} \, u^{\mu} \, = \, 0. $$

так как используя (1.1) получаем

$$ u^{\mu} \, w_{\mu} \, := \, u^{\mu} \, (g_{\mu \nu} \, + \, c^{-2} \, u_{\mu} \, u_{\nu}) \, V^{\nu} \, = \, ( u_{\nu} \, + \, c^{-2} \, u^{\mu} \, u_{\mu} \, u_{\nu}) \, V^{\nu} \, = \, ( u_{\nu} \, - \, u_{\nu}) \, V^{\nu} \, = \, 0 $$

Однако

$$ w_{\mu} \, w^{\mu} \, = \, - \, c^2 \, \lambda $$

где $\lambda$ -вещественное число, не обязано выполняться, поскольку

$$ w_{\mu} \, w^{\mu} \, = \, (g_{\mu \nu} \, + \, c^{-2} \, u_{\mu} \, u_{\nu}) \, V^{\mu} \, V^{\nu } . $$

Вопрос 3: Можно ли определить $v^{\mu}$, для которого выполняется условия (1.1) и (1.2) уравнением

$$ v_{\mu} \, := \, - \, \frac{c^2 \, w_{\mu} }{w_{\nu} \, w^{\nu}} . $$

[svv]

1.1 Нет, это невозможно.

Я предполагаю, что Вы используете сигнатуру метрики $(-1,+1,+1,+1)$, так что Ваши векторы $u^{\mu}$ и $v^{\mu}$ времениподобные.
(Просто не менее часто используется сигнатура $(+1,-1,-1,-1)$. Если Вы используете её, тогда Ваши векторы $u^{\mu}$ и $v^{\mu}$ пространственноподобные, и они могут быть ортогональными. Правда, в этом случае Вы вряд ли назвали бы их 4-скоростями. Но это уже гадание, и хотелось бы явного уточнения.)

Итак, допустим, такие два вектора $u^{\mu}$ и $v^{\mu}$ существуют. Возьмём третий вектор, не являющийся линейной комбинацией этих двух, и сделаем его ортогональным как $u^{\mu}$, так и $v^{\mu}$ по методу Грама-Шмидта. Затем возьмём четвёртый вектор и сделаем его ортогональным этим трём. У нас получился ортогональный базис, в котором метрический тензор имеет диагональный вид. На диагонали уже стоят два отрицательных элемента $-1$, что противоречит инвариантности сигнатуры $(-1,+1,+1,+1)$.

Дальнейшие вопросы остались?

[Divergence]

Спасибо за ответ.
Вопросы все таки остались.

Не смог присоединить принтскрин, потому приведу текст из раздела "1.3.9 Splitting a tensor through a vector" книги по ОТО, Rezzolla, L., Zanotti, O. Relativistic Hydrodynamics (2013, OUP Oxford).

"Consider a vector field ${\bf U}$, which has unit norm, i.e., ${\bf U} \cdot {\bf U} \, = \, - \, 1$, and define a projection operator (or projection tensor) ${\bf h}$ orthogonal to ${\bf U}$ as the tensor with components

$$ h_{\mu \nu} \, := \, g_{\mu \nu} \, + \, U_{\mu} U_{\nu} , \quad (1.90) $$

which satisfies the following identities

$$ h_{\mu \nu} \, U^{\mu} \, = \, 0, \quad h^{ \ \lambda}_{\mu} \ h_{\lambda \nu} \, = \, h_{\mu \nu} , \quad h^{\mu}_{ \ \mu} \, = \, 3 . \quad (1.91) $$

With this operator it is then possible to split, for example, any vector field ${\bf V}$ into a part parallel to ${\bf U}$ and a part orthogonal to ${\bf U}$, i.e.,

$$ V^{\mu} \, = \, A \, U^{\mu} \, + \, B^{\mu} , \quad (1.92) $$

where the term $A \, = \, U_{\mu} V^{\mu}$ is the component of ${\bf V}$ along ${\bf U}$, while the term $B^{\mu} \, = \, h^{\mu}_{\ \nu} \, V^{\nu}$ is the component of ${\bf V}$ in the space orthogonal to ${\bf U}$."

Перевод последней строчки: $A \, = \, U_{\mu} V^{\mu}$ - это компонента вектора ${\bf V}$ параллельная ${\bf U}$, а $B^{\mu} \, = \, h^{\mu}_{\ \nu} \, V^{\nu}$ компоненты вектора ${\bf V}$ перпендикулярная ${\bf U}$.

Как я понял, вы утверждаете, что в рамках обозначений этой книги вектор ${\bf B}$ не может быть 4-вектором скорости, если вектор ${\bf U}$, является 4-вектором скорости, т.е. ${\bf U} \cdot {\bf U} \, = \, - \, 1$.

Правильно ли я понял вас, что должно выполняться условие ${\bf B} \cdot {\bf B} \, > \, 0$ ?

[svv]

Divergence, я попозже отвечу подробнее (сейчас занят), а пока сошлюсь на «обратное неравенство Коши-Буняковского» (reversed Cauchy inequality). См. здесь и в книге
Шафаревич, Ремизов. Линейная алгебра и геометрия. Стр.277 (смотрите сразу Следствие из теоремы 7.18)

[Geen]

Divergence в сообщении #1594063 писал(а):

Правильно ли я понял вас, что должно выполняться условие

Ну Вас же просили явно указать сигнатуру...

Divergence в сообщении #1594063 писал(а):

в рамках обозначений этой книги вектор ${\bf B}$ не может быть 4-вектором скорости

Не может. И что Вас удивляет/смущает?

[Divergence]

Спасибо за ссылку.

(-1,1,1,1)

Однако меня терзают смутные сомнения и вопросы.
Если в формуле (1.92) 4-вектора $V^{\mu}$ и $U^{\mu}$ вектора 4-скоростей, то каков физический смысл у вектора $B^{\mu}$ ?

[Geen]

Divergence
Попробуйте, сначала, установить что такое $A$...

[Divergence]

Скалярное произведение 4-скоростей ${\bf V}$ и ${\bf U}$. Разве не так? Здесь система единиц c=1$.

[green5]

svv в сообщении #1594044 писал(а):

1.1 Нет, это невозможно.

А u=(0,-1,0,0), v=(0,0,-1,0) разве не удовлетворяют условию?

[Geen]

Divergence в сообщении #1594108 писал(а):

Скалярное произведение 4-скоростей ${\bf V}$ и ${\bf U}$. Разве не так?

Ну тогда

Divergence в сообщении #1594063 писал(а):

а $B^{\mu} \, = \, h^{\mu}_{\ \nu} \, V^{\nu}$ компоненты вектора ${\bf V}$ перпендикулярная ${\bf U}$.

-- 16.05.2023, 22:59 --

green5 в сообщении #1594164 писал(а):

А u=(0,-1,0,0), v=(0,0,-1,0) разве не удовлетворяют условию?

Какому условию? Быть ортогональными? - неизвестно - зависит от метрики.

[svv]

Divergence в сообщении #1594063 писал(а):

where the term $A \, = \, U_{\mu} V^{\mu}$

Тут пропущен «минус», должно быть $A = -U_{\mu} V^{\mu}$. Но в книге написано правильно.

Divergence в сообщении #1594063 писал(а):

Как я понял, вы утверждаете, что в рамках обозначений этой книги вектор ${\bf B}$ не может быть 4-вектором скорости, если вектор ${\bf U}$, является 4-вектором скорости, т.е. ${\bf U} \cdot {\bf U} \, = \, - \, 1$.

Да. Вы уже посмотрели мои ссылки, где говорится о том же (два времениподобных вектора не могут быть ортогональны), так что принять это будет легче.

Divergence в сообщении #1594063 писал(а):

Правильно ли я понял вас, что должно выполняться условие ${\bf B} \cdot {\bf B} \, > \, 0$ ?

Да. Точнее, $\mathbf B \cdot \mathbf B\geqslant 0$. При этом равенство достигается тогда, когда вектор $\mathbf V$ пропорционален вектору $\mathbf U$.

Вообще, для физика самое естественное рассуждение, наверное, такое. Вектор $\mathbf U$ времениподобный. Существует ортонормированный базис $(\mathbf e_0, \mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3)$ такой, что
$\mathbf e_0=\mathbf U$
$\mathbf e_0\cdot\mathbf e_0=-1$
$\mathbf e_i\,\cdot\mathbf e_i=+1$
В этом базисе
$U^0=1,\;U_0=-1,\;A=-U_{0} V^{0}=V^0,\;B^0=V^0-AU^0=0$
Поскольку
$\mathbf B=B^\mu \mathbf e_\mu,$
то
$\mathbf B=B^i \mathbf e_i$
$\mathbf B\cdot\mathbf B=(B^1)^2+(B^2)^2+(B^3)^2\geqslant 0$

[Geen]

(странно, мне казалось, что эта тема была в ПРР(М))
Добавлю про физику (прошу прощения за корявость). Почти везде надо подразумевать префикс "локально" - я его писать не буду.

Пусть у нас есть некий наблюдатель (который проводит измерения) с некой времениподобной траекторией. Обозначим касательную к этой траектории $\mathbf U$ (это 4-скорость этого наблюдателя в данной точке траектории). Рассмотрим события, одновременные с точки зрения этого наблюдателя. Они образуют пространственноподобную плоскость, ортогональную к $\mathbf U$. Именно в этой плоскости наблюдатель "проводит свои измерения" (его линейки "лежат" в этой плоскости) и проекции именно на эту плоскость даёт оператор проецирования $\mathbf h$.

К случаю, когда через наблюдателя пролетает частица со скоростью $\mathbf V$, дам очень толстый намёк (мне кажется, очевидный в свете сказанного) - лоренц-фактор и 3-скорость.

-- 17.05.2023, 10:41 --

Предлагаю ещё, ради интереса и тренировки, рассмотреть случай когда $\mathbf V$ это собственное ускорение наблюдателя.

[Divergence]

Спасибо за комментарии.