Интеграл с тремя присоединенными полиномами Лежандра

[reterty]

Интересует вычисление следующего интеграла:

$$\int_{-1}^{1} P_l ^m (x) P_k ^m (x) P_2 ^0 (x) \,dx ,$$

где $l\leq k$; $P_2 ^0 (x)=(3x^2-1)/2$. Методом научного тыка удалось установить, что данный интеграл отличен от нуля только при $k=l, l+2$. А вот нахождение конкретного числового значения через факториалы в общем виде находится за гранью моих способностей.

[worm2]

Не понял, что такое $m$. О господи, я не умею читать. Написано же: присоединённые Сначала написал про неприсоединённые.
Исправляюсь: нашёл какую-то "Gaunt's formula": https://en.wikipedia.org/wiki/Associated_Legendre_polynomials#Gaunt's_formula

[reterty]

worm2 в сообщении #1593647 писал(а):

Не понял, что такое $m$. О господи, я не умею читать. Написано же: присоединённые Сначала написал про неприсоединённые.
Исправляюсь: нашёл какую-то "Gaunt's formula": https://en.wikipedia.org/wiki/Associated_Legendre_polynomials#Gaunt's_formula

спасибо, я ее тоже узрел, однако она верна лишь для положительных порядков $m$. а у меня ридберговский электрон с целыми ( то есть и отрицательными) значениями магнитного квантового числа $m$.

[mihiv]

reterty в сообщении #1593650 писал(а):

у меня ридберговский электрон с целыми ( то есть и отрицательными) значениями магнитного квантового числа $m$.

В ЛЛ т.3, например, полагается по определению $P^{-|m|}_l=(-1)^mP^{|m|}_l$.

[reterty]

mihiv в сообщении #1594590 писал(а):

reterty в сообщении #1593650 писал(а):

у меня ридберговский электрон с целыми ( то есть и отрицательными) значениями магнитного квантового числа $m$.

В ЛЛ т.3, например, полагается по определению $P^{-|m|}_l=(-1)^mP^{|m|}_l$.

Спасибо Вам огромное за ценное замечание!