Рациональные числа. Сечение. Классы.

[KPEHgEJIb]

Цитата:

Отнесём к классу $A$ все положительные рациональные числа $a$, для которых $a^2<2$, число $0$ и все отрицательные рациональные числа, а к классу $A'$ - все положительные рациональные числа $a'$, для которых $a'^2>2$.

Как легко убедиться, мы получили сечение. Здесь ни в классе $A$ нет наибольшего числа, ни в классе $A'$ - наименьшего. Докажим, например, первое из этих утверждений. Пусть $a$ - любое положительное число класса $A$, тогда $a^2<2$. Покажем, что можно подобрать такое целое положительное $n$, что

$(a+\frac{1}{n})^2<2$

так что и число $a+\frac{1}{n}$ будет принадлежать классу $A$.
Это неравенство равносильно таким:

$a^2+\frac{2a}{n}+\frac{1}{n^2}<2$, $\frac{2a}{n}+\frac{1}{n^2}<2-a^2$,

Последнее неравенство и подавно выполнено, если $n$ удовлетворит неравенству

$\frac{2a+1}{n}<2-a^2$,

для чего достаточно взять

$n>\frac{2a+1}{2-a^2}$,

а это всегда возможно ( по аксиоме Архимеда).

Не могу разобраться в доказательстве. Зачем показывать, что можно подобрать целое положительное число $n$? И почему последнее неравенство будет выполнено если $n$ удовлетворит неравенству $\frac{2a+1}{n}<2-a^2$ ? Причём тут аксиома Архимеда?

Короче говоря, я не понимаю по какому принципу действует это доказательство. Надо доказать, что в классе $A$ нет наибольшего числа. Зачему тут вообще какое-то $n$?

[Brukvalub]

KPEHgEJIb писал(а):

Надо доказать, что в классе $A$ нет наибольшего числа. Зачему тут вообще какое-то $n$?

Натуральное число n здесь используется потому, что именно таким путем получается строгое обоснование, опирающееся на аксиоматику и простейшие свойства неравенств. Если Вы имеете что предложить в качестве альтернативного док-ва - пишите здесь, обсудим. А неравенство

\[ \frac{{2a}}{n} + \frac{1}{{n^2 }} \le \frac{{2a + 1}}{n} \]

равносильно очевидному неравенству

\[ \frac{1}{{n^2 }} \le \frac{1}{n} \]

[ewert]

Какое-то странное доказательство (кстати, в последней формуле перепутано направление неравенства). Почему бы не сделать то же самое, но -- сознательно?

Пусть $a^2<2$, $a\in\mathbb Q_+$. Подберём натуральное $n$ так, чтобы было $\left(a+{1\over n}\right)^2<2$; возможность такого подбора для любого $a$ и будет означать, что в классе $A$ нет максимального элемента.

Обозначим $\varepsilon\equiv 2-a^2>0$; это -- рациональное число. Достаточно добиться того, чтобы выполнялось неравенство $\left(a+{1\over n}\right)^2-a^2<\varepsilon$, т.е. ${2a\over n}+{1\over n^2}<\varepsilon$. Для этого, в свою очередь, достаточно выполнения неравенств:

$\everymath{\displaystyle}\begin{cases} {2a\over n}<{\varepsilon\over2} \\ \\ {1\over n^2}<{2a\over n} \end{cases} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \begin{cases} n>{4a\over\varepsilon} \\ \\ n>{1\over 2a} \end{cases}$

Другими словами, достаточно взять $n=\max\{n_1,n_2\}$, где $n_1>{4a\over\varepsilon}$ и $n_2>{1\over 2a}$. А такие числа $n_1$ и $n_2$ всегда найдутся -- да, действительно, именно по аксиоме Архимеда. Ч.т.д.

[KPEHgEJIb]

Цитата:

Натуральное число n здесь используется потому, что именно таким путем получается строгое обоснование, опирающееся на аксиоматику и простейшие свойства неравенств. Если Вы имеете что предложить в качестве альтернативного док-ва - пишите здесь, обсудим.

С этим я разобрался. Берётся не просто $n$, а $\frac{1}{n}$ потому что иначе кроме как $n=1$ другие $n$ не подходят.

Но как получилось $\frac{2a}{n}+\frac{1}{n^2}\le\frac{2a+1}{n}$? И почему оно равносильно $\frac{1}{n^2}\le\frac{1}{n}$ ?

В примере (источник - Г.М. Фихтенгольц "Курс дифференциального и интегрального исчисления Том 1")
были только строгие неравенства. Brukvalub, откуда у Вас получились нестрогие?

Цитата:

Какое-то странное доказательство (кстати, в последней формуле перепутано направление неравенства).

Извините, опечатался. Я не только направление неверно указал, но вообще не то нераведство поставил.

Цитата:

Пусть $a^2<2$, $a\in\mathbb Q_+$. Подберём натуральное $n$ так, чтобы было $\left(a+{1\over n}\right)^2<2$; возможность такого подбора для любого $a$ и будет означать, что в классе $A$ нет максимального элемента.

Это понял, а дальше - нет.

[ewert]

KPEHgEJIb писал(а):

Цитата:

Пусть $a^2<2$, $a\in\mathbb Q_+$. Подберём натуральное $n$ так, чтобы было $\left(a+{1\over n}\right)^2<2$; возможность такого подбора для любого $a$ и будет означать, что в классе $A$ нет максимального элемента.

Это понял, а дальше - нет.

Обозначание $\varepsilon$ введено только для сокращения записи, но оно по существу: это -- зазор между двойкой и исходным $a^2$. Поэтому: если расстояние между "старым" $a^2$ и "новым" $\left(a+{1\over n}\right)^2$ окажется меньше этого зазора, то "новое" число тоже попадёт в класс $A$.

Дальше понятно?

[KPEHgEJIb]

ewert, теперь понятно. Благодарю