Вывод скобок Пуассона компонент момента импульса

[Kuga]

В книге Дубровина, Новикова , Фоменко в параграфе 34, пример 1, дается вывод скобок Пуассона момента импульса частицы в сферически симметричном поле. Но делается это каким-то специфическим непонятным способом. В свое время я это все читал по Ландафшицу, и напрямую проверял через классическое определение скобок Пуассона вычисляя производные. А у ДНФ все как-будто делается, чтобы создать у читателя комплекс неполноценности и неадекватности. Там вводится шестимерный градиент в фазовом пространстве $(p,q)$, где $q=(x,y,z)$, $p=(p_x,p_y,p_z)$, (в общем случае $2n$, тут $n=3$)

$$ \nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial p},-\frac{\partial f}{\partial q}\right), $$

векторное поле

$$ L_x=(0,z,-y), \, L_y=(-z,0,x), \, L_z=(y,-x,0). $$

вычисляются их коммутаторы

$$ [L_x,L_y]=L_z,\,[L_y,L_z]=L_x,\, [L_z,L_x]=L_y. $$

Моменты $M$, которые являются интегралами тогда записываются через лагранжиан $L$ как

$$ M_x=L_x^i\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i},\,M_y=L_y^i\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i},\,M_z=L_z^i\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}. $$

Далее используется формула 4) из Теоремы 1:

$$ \nabla \{f,g\}=-[\nabla f,\nabla g]. $$

На данном этапе вроде бы все понятно.

Но далее говорится, что из этой теоремы вытекают формулы

$$ \{M_x,M_y\}=-M_z,... $$

---------------------------------------------------------------------------------------------
Кажется, что из этой теоремы сразу это не получается, или видимо я чего-то недопонял. Пусть $f=M_x=zp_y-yp_z$, $g=M_y$. Тогда $\nabla f=(0,z,-y,0,p_z,-p_y)=(L_x,L_{p_x})$, $\nabla g=(L_y,L_{p_y})$ (заметим, что тут возникает векторное поле $L_p$, аналог $L_q$ в "импульсом подпространтсве" фазового пространства). Затем надо вычислить коммутаторы этих шестимерных градиентов. Эта задача упрощается, если заметить, что $L_{q}$ и $L_p$ коммутируют. Тогда коммутаторы соответствующие первым трем компонентам дадут $L_z$, а трем последним компонентам дадут $L_{p_z}$. В итоге получается

$$ [\nabla f,\nabla g]=(L_z,L_{p_z}). $$

Тогда по теореме

$$ \nabla \{f,g\}=-(L_z,L_{p_z}). $$

Отсюда используя $\nabla M_z=(L_z,L_{p_z})$
получается $\nabla \{f,g\}=-\nabla M_z$, из которого потом следует $\{f,g\}=-M_z$ с точностью до константы.

Даже если отвлечься от того факта, что ответ получается только с точностью до константы, то возникает вопрос.

Вопрос: Вот все эти вычисления, сделанные после горизонтальной черты, они как бы должны быть очевидными из предыдущего? т.е. эти вычисления они избыточны, и все должно быть понятно без них?

[Slav-27]

Как я понимаю, авторы хотят сказать, что $\nabla M_i=\tilde L_i$, и поэтому $\nabla\{M_x,M_y\}=-[\nabla M_x, \nabla M_y]=-[\tilde L_x,\tilde L_y]=-\tilde L_z=-\nabla M_z$ (константа определяется условием $M_i=0$ при стоянии на месте $x\equiv 0$).

$\tilde L_i$ не то же, что $L_i$; но это и не очень важно, важно, что они происходят из действия $SO(3)$ на кокасательном расслоении и поэтому коммутируют так же, как соответствующие элементы $so(3)$. Если есть действие $SO(3)\to\operatorname{Diff}M$, то есть и $\rho:so(3)\to\operatorname{Vect}M$ -- морфизм алгебр Ли. 3-компонентые $L_i$ -- это образы базисных векторов $so(3)$ при действии $SO(3)$ на $\mathbb R^3$, а 6-компонентые $\tilde L_i$ -- это образы тех же самых базисных векторов при индуцированном действии $SO(3)$ на $T^*\mathbb R^3$.