В книге Дубровина, Новикова , Фоменко в параграфе 34, пример 1, дается вывод скобок Пуассона момента импульса частицы в сферически симметричном поле. Но делается это каким-то специфическим непонятным способом. В свое время я это все читал по Ландафшицу, и напрямую проверял через классическое определение скобок Пуассона вычисляя производные. А у ДНФ все как-будто делается, чтобы создать у читателя комплекс неполноценности и неадекватности. Там вводится шестимерный градиент в фазовом пространстве

, где

,

, (в общем случае

, тут

)

векторное поле

вычисляются их коммутаторы
![$$
[L_x,L_y]=L_z,\,[L_y,L_z]=L_x,\, [L_z,L_x]=L_y.
$$ $$
[L_x,L_y]=L_z,\,[L_y,L_z]=L_x,\, [L_z,L_x]=L_y.
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/3/dc3ace34410628b45ba2a88b986822a682.png)
Моменты

, которые являются интегралами тогда записываются через лагранжиан

как

Далее используется формула 4) из Теоремы 1:
![$$
\nabla \{f,g\}=-[\nabla f,\nabla g].
$$ $$
\nabla \{f,g\}=-[\nabla f,\nabla g].
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/3/9b3185b25c4cc2b8d8ab21ea14cb80d082.png)
На данном этапе вроде бы все понятно.
Но далее говорится, что из этой теоремы вытекают формулы

---------------------------------------------------------------------------------------------
Кажется, что из этой теоремы сразу это не получается, или видимо я чего-то недопонял. Пусть

,

. Тогда

,

(заметим, что тут возникает векторное поле

, аналог

в "импульсом подпространтсве" фазового пространства). Затем надо вычислить коммутаторы этих шестимерных градиентов. Эта задача упрощается, если заметить, что

и

коммутируют. Тогда коммутаторы соответствующие первым трем компонентам дадут

, а трем последним компонентам дадут

. В итоге получается
![$$
[\nabla f,\nabla g]=(L_z,L_{p_z}).
$$ $$
[\nabla f,\nabla g]=(L_z,L_{p_z}).
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/3/3/a33e33602c6efd2b48c6e38f005b638982.png)
Тогда по теореме

Отсюда используя

получается

, из которого потом следует

с точностью до константы.
Даже если отвлечься от того факта, что ответ получается только с точностью до константы, то возникает вопрос.
Вопрос: Вот все эти вычисления, сделанные после горизонтальной черты, они как бы должны быть очевидными из предыдущего? т.е. эти вычисления они избыточны, и все должно быть понятно без них?