[draft] Справочник. Алгебра

[cepesh]

Формулы сокращенного умножения
Общие формулы:

$$x^n-c^n=(x-c)\left( x^{n-1} + x^{n-2}c + x^{n-3}c^2 + \dots + xc^{n-2} + c^{n-1}\right)=(x-c)\sum^{n-1}_{k=0} {x^{n-k-1}c^k} \quad \mbox{($n$ --- любое)}; $$

$$x^n-c^n=(x+c)\left( x^{n-1} - x^{n-2}c + x^{n-3}c^2 - \dots + xc^{n-2} - c^{n-1}\right)=(x+c)\sum^{n-1}_{k=0} {(-1)^k x^{n-k-1}c^k} \quad \mbox{($n$ --- четное)}; $$

$$x^n+c^n=(x+c)\left( x^{n-1} - x^{n-2}c + x^{n-3}c^2 - \dots - xc^{n-2} + c^{n-1}\right)=(x+c)\sum^{n-1}_{k=0} {(-1)^k x^{n-k-1}c^k} \quad \mbox{($n$ --- нечетное)}.$$

Простейшие формулы:

$$(x+c)(x-c) = x^2 - c^2;$$

$$ (x+c)(x^2 -xc + c^2) = x^3 + c^3;$$

$$(x-c)(x^2+xc+c^2)=x^3-c^3.$$

Добавлено спустя 14 минут 23 секунды:

Формулы Виета.
Формулы Виета для приведенного многочлена $n$-й степени $P(x)=x^n+a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} + \cdots + a_{n-1} x + a_n$ с корнями $c_1, c_2, \dots, c_n$:

$$\begin{array}{llr} c_1+c_2+c_3+\dots+c_{n-1}+c_n & = &-a_1, \\ c_1 c_2 + c_1 c_3 + \dots + c_{n-1} c_n & = &a_2, \\ c_1 c_2 c_3 + c_1 c_2 c_4 + \dots + c_{n-2} c_{n-1} c_n &=& -a_3, \\ \hdotsfor{3} \\ c_1 c_2 c_3 \dots c_{n-1} c_n &=& (-1)^n a_n. \end{array}$$

Формулы Виета для приведенного квадратного трехчлена $P(x)=x^2+px+q$:

$$ c_1+c_2=-p; \quad c_1 c_2 = q.$$

Формулы Виета для приведенного кубичного многочлена $P(x)=x^3+px^2+qx+r$:

$$\begin{array}{llr} c_1 + c_2 + c_3 &=& -p,\\ c_1 c_2 + c_2 c_3 + c_1 c_3 &=& q,\\ c_1 c_2 c_3 &=& -r. \end{array}$$

Добавлено спустя 8 минут 40 секунд:

Корни квадратного уравнения
Формула вычисления корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0, a \ne 0$ с действительными коэффициентами:

$$x_{1, 2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Если $D \equiv b^2-4ac>0$, то уравнение имеет два различных действительных корня; если $D=0$, то уравнение имеет один действительный корень кратности 2; если $D<0$, то
уравнение имеет два комплексно сопряженных корня:

$$x_1=-\frac{b}{2a}+i\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}; \quad x_2=-\frac{b}{2a}-i\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}.$$

Формула вычисления корней приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$:

$$ x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}.$$

Формула вычисления корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом $ax^2 + 2kx + c = 0, a \ne 0$:

$$ x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2-ac}}{a}.$$

Добавлено спустя 25 минут 7 секунд:

Корни кубичного уравнения с действительными коэффициентами.

Корни неполного кубичного уравнения

$$y^3+py+q=0$$

вычисляются по формулам Кардано:

$$ y_1=A+B, \quad y_{2,3}=-\frac{A+B}{2}\pm i\frac{A-B}{2}\sqrt{3},$$

где

$$ A=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{Q}}, \quad B=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{Q}}, \quad Q=\left(\frac{p}{3}\right)^3 + \left(\frac{q}{2}\right)^2,$$

причем в качестве $A$ и $B$ выбираются любые значения кубичных корней, удовлетворяющие равенству $AB=-p/3$.

Корни неполного кубичного уравнения с действительными коэффициентами

$$y^3+py+q=0$$

могут быть вычислены также по следующим формулам
(тригонометрическое решение).
Если $Q < 0$, то $p < 0$, и

$$ y_1 = 2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos \frac{\alpha}{3}, \quad y_{2,3} = -2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos \left(\frac{\alpha}{3} \pm \frac{\pi}{3} \right),$$

где значения тригонометрических функций вычисляются по значению

$$\cos \alpha = -\frac{q}{2\sqrt{-(p/3)^3}}.$$

Если $Q \ge 0$ и $p>0$, то

$$y_1=-2\sqrt{p/3} \ctg 2\alpha, \quad y_{2,3}=\sqrt{p/3}(\ctg 2\alpha \pm i\sqrt{3} \cosec 2\alpha),$$

где значения тригонометрических функций вычисляются по значению

$$ \tg \alpha = \sqrt[3]{\tg \frac {\beta}{2}}, \quad \tg \beta = \frac{2}{q}\sqrt{\left(\frac{p}{3}\right)^3}, \quad |\alpha| \le \frac{\pi}{4}, \quad |\beta| \le \frac{\pi}{2}.$$

Если $Q \ge 0$ и $p < 0$, то

$$ y_1 = -2\sqrt{-p/3} \cosec 2\alpha, \quad y_{2,3}=\sqrt{-p/3}(\cosec 2\alpha \pm i\sqrt{3}\ctg 2\alpha),$$

где значения тригонометрических функций вычисляются по значению

$$ \tg \alpha = \sqrt[3]{\tg \frac {\beta}{2}}, \quad \sin \beta = \frac{2}{q}\sqrt{\left(-\frac{p}{3}\right)^3}, \quad |\alpha| \le \frac{\pi}{4}, \quad |\beta| \le \frac{\pi}{2}.$$

Во всех трех случаях берется действительное значение кубичного корня.

Корни полного кубичного уравнения

$$ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, a \ne 0$$

вычисляются по формулам

$$ x_i=y_i-\frac{b}{3a}\qquad (i=1,2,3),$$

где $y_i$ — корни неполного кубичного уравнения.

Добавлено спустя 52 минуты 25 секунд:

Корни уравнения четвертой степени.
Уравнение четвертой степени

$$ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0, a \ne 0$$

с действительными коэффициентами заменой

$$ y=x+\frac{b}{4a}$$

сводится к неполному уравнению

$$ y^4 + py^2 + qy + r =0,$$

корни которого вычисляются по формулам:
\begin{equation} \begin{array}{ll} y_1=\frac12(\sqrt{z_1}+\sqrt{z_2}+\sqrt{z_3}),& y_2=\frac12(\sqrt{z_1}-\sqrt{z_2}-\sqrt{z_3}),\\ y_3=\frac12(-\sqrt{z_1}+\sqrt{z_2}-\sqrt{z_3}),& y_4=\frac12(-\sqrt{z_1}-\sqrt{z_2}+\sqrt{z_3}), \end{array} \end{equation}
где $z_1, z_2, z_3$ — корни кубичного уравнения (кубичной резольвенты)

$$z^3 + 2pz^2 + (p^2-4r)z-q^2=0, $$

и знаки перед корнями в формулах $(1)$ выбираются так, чтобы выполнялось условие $\sqrt{z_1}\sqrt{z_2}\sqrt{z_3}=-q.$

Добавлено спустя 26 минут 36 секунд:

Неравенства
Простейшие неравенства:

$$|a+b| \le |a|+|b|; \quad |a-b|\ge||a|-|b||;\quad a^2+b^2\ge 2 |ab|;$$

$$\frac{a}{b} + \frac {b}{a} \ge 2 \quad (ab>0);$$

$$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} \quad (a\ge 0, b \ge 0).$$

Некоторые общие неравенства:

$$\left| \sum_{i=1}^n a_i \right| \le \sum_{i=1}^n |a_i|;$$

$$\frac1n \sum_{i=1}^n a_i \ge \sqrt[n]{a_1 a_2 \ldots a_n}, a_i \ge 0$$

(неравенство Коши);

$$\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2 \le \left(\sum_{i=1}^n a_i^2 \right) \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)$$

(неравенство Коши -- Буняковского);

$$\frac1n \left| \sum_{i=1}^n a_i \right| \le \sqrt{\frac1n \sum_{i=1}^n a_i^2};$$

$$\left| \sum_{i=1}^n a_i b_i \right| \le \left( \sum_{i=1}^n a_i^p \right)^{1/p} \left( \sum_{i=1}^n b_i^q \right)^{1/q}$$

(неравенство Гёльдера), где

$$\frac1p+\frac1q=1.$$

Добавлено спустя 21 минуту 18 секунд:

Комбинаторика и бином Ньютона.
Число перестановок из $n$ элементов:

$$ P_n = n!.$$

Число размещений из $n$ элементов по $m$ элементов;

$$ A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}.$$

Число сочетаний из $n$ элементов по $m$ элементов:

$$ C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}.$$

Формулы для числа сочетаний:

$$C_n^m = C_n^{n-m};$$

$$ C_{n+1}^{m+1}=C_n^m + C_n^{m+1};$$

$$ C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \dots + C_n^{n-1} + C_n^n = 2^n.$$

Число перестановок с повторениями (кортежами) состава (спецификации) $(k_1, k_2, \dots, k_m)$:

$$ C_n (k_1, k_2, \dots, k_m) = \frac{n!}{k_1! k_2! \dots k_m!} \quad (n=k_1+k_2+\dots k_m). \eqno{(2)}$$

Число сочетаний из $n$ элементов по $m$ с повторениями:

$$ f^m_n=C^{n-1}_{m+n-1}=C^{m}_{m+n-1}.$$

Рекуррентная формула для числа сочетаний с повторениями:

$$ f^m_n = f^m_{n-1} + f^{m-1}_n$$

Формула бинома Ньютона:

$$ (a+b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b + \dots + C_n^n a^0 b^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k} b^k.$$

Формула полинома:

$$ (a_1+a_2+\dots+a_r)^n = \sum_{k_1+k_2+\dots+k_r=n} C_n (k_1, k_2, \dots, k_r) a_1^{k_1} a_2^{k_2}\dots a_r^{k_r},$$

где суммирование проводится по всем наборам неотрицательных целых чисел $(k_1, k_2, \dots, k_r)$, для которых $k_1+k_2+\dots+k_r=n$. Коэффициенты $C_n (k_1, k_2, \dots, k_r)$, вычисляемые по формуле $(2)$, называются полиномиальными коэффициентами.
Формула для числа полиномиальных коэффициентов:

$$\sum_{k_1+k_2+\dots+k_r=n} C_n (k_1, k_2, \dots, k_r)=r^n $$