Как вычислить интеграл

[Antoshka]

Здравствуйте. Подскажите, как посчитать интеграл такой $\int\limits_{1}^{s}\frac{1}{(s+1)k^s}ds$, где $k$ действительное больше единицы, а $s$ комплексное. Это важно для доказательства гипотезы Римана, потому интересуюсь

[Евгений Машеров]

Этот никак. У Вас s и верхний предел интегрирования, и переменная интегрирования. Уточните условие.

[Antoshka]

Евгений Машеров в сообщении #1592756 писал(а):

Этот никак. У Вас s и верхний предел интегрирования, и переменная интегрирования. Уточните условие.

$\int\limits_{1}^{s}\frac{1}{(t+1)k^t}dt$, где $k$ действительное больше единицы, а $s$ комплексное

[zykov]

Вольфрамальфа выдаёт $k\cdot Ei(-\ln(k) \cdot (s+1)) + C$, где $Ei$ - exponential integral function.

[Евгений Машеров]

А что у нас с путём интегрирования?

[Antoshka]

Евгений Машеров в сообщении #1592773 писал(а):

А что у нас с путём интегрирования?

$s=x+yi,x\in(0;1),y>0$

[Евгений Машеров]

Это комплексная плоскость. Тут могут быть интересные вещи.

[B@R5uk]

Во-первых, надо степень переписать как экспоненту, а во-вторых сместить аргумент интегрирования на единицу. Получится интегральная показательная функция. Это специальная функция, но довольно хорошо известная. Интегральные синус и логарифм из той же оперы (особенно учитывая "комплекснозначность" вопроса). Заменой переменной их можно свести к интегралам Френеля. Последние в свою очередь через комплексную плоскость завязаны на функцию ошибок — ещё одна весьма востребованная спецфункция.

[Antoshka]

B@R5uk в сообщении #1593715 писал(а):

Во-первых, надо степень переписать как экспоненту, а во-вторых сместить аргумент интегрирования на единицу. Получится интегральная показательная функция. Это специальная функция, но довольно хорошо известная. Интегральные синус и логарифм из той же оперы (особенно учитывая "комплекснозначность" вопроса). Заменой переменной их можно свести к интегралам Френеля. Последние в свою очередь через комплексную плоскость завязаны на функцию ошибок — ещё одна весьма востребованная спецфункция.

Да, сложно получается. Я решил пока отложить интеграл в сторону и разобраться вот с чем. Я не понял, есть ли в ТФКП такое понятие как дифференциальные уравнения? Вот в действительном анализе есть функция $f(z)=e^z,z\in\mathbb{R}$, которая является частным решением дифференциального уравнения $f'(z)-f(z)=0$, которое решается расписыванием через дифференциалы функции и разделением переменных. Это понятно. А теперь давайте представим, что $z$ это комплексное число! Тогда дифференцирование надо проводить по особым правилам. Тем не менее, для экспоненты можно проводить дифференцирование по правилам действительного анализа, то есть просто написать $(e^z)'=e^z$, так как эта функция удовлетворяет условиям Коши-Римана и является аналитической. Но можно ли говорить о том, что она является решением дифференциального уравнения $f'(z)-f(z)=0$? Непосредственная подстановка показывает, что является, но тогда возникает вопрос, что такое неопределенный интеграл в ТФКП? Видимо, если и есть такие понятия в ТФКП - неопределенный интеграл и дифференциальные уравнения, то только для аналитических функций?

[мат-ламер]

Antoshka в сообщении #1594327 писал(а):

но тогда возникает вопрос, что такое неопределенный интеграл в ТФКП?

А почему именно тогда возникает такой вопрос?

[Antoshka]

мат-ламер в сообщении #1594338 писал(а):

А почему именно тогда возникает такой вопрос?

Я придумал, как доказать гипотезу Римана. Чтобы доказательство удалось, нужно рассматривать неопределённый интеграл, но я не знаю, можно ли так делать, поэтому решил поинтересоваться у специалистов. Я уже создал соответствующую тему в дискуссионном разделе, где планирую изложить план доказательства. После этого будет понятно, почему я задаю такие вопросы. А ссылку на тему я могу оставить здесь

[мат-ламер]

Antoshka
Спасибо, конечно, за ответ. Однако я не понял, какое отношение он имеет к моему вопросу. Вы писали:

Antoshka в сообщении #1594327 писал(а):

Непосредственная подстановка показывает, что является

Да, действительно является.

Antoshka в сообщении #1594327 писал(а):

но тогда возникает вопрос, что такое неопределенный интеграл в ТФКП?

Я просто не понял, как из того, что подстановка что-то показывает, возникает вопрос о неопределённом интеграле? По этому и задал вопрос:

мат-ламер в сообщении #1594338 писал(а):

А почему именно тогда возникает такой вопрос?

Поскольку мой вопрос не существенный, я его снимаю, дабы не завязнуть в оффтопике.

[пианист]

Antoshka
Неопределенный интеграл - процедура, обратная к взятию производной.
В ТФКП рассматриваются гладкие сиречь дифференцируемые функции комплексной переменной; из дифференцируемости функции комплексной переменной следует ее аналитичность.
Дифференциальными уравнениями на функции комплексной переменной занимается аналитическая теория дифференциальных уравнений (есть книжечка Голубева на эту тему).

[мат-ламер]

Antoshka в сообщении #1594327 писал(а):

Видимо, если и есть такие понятия в ТФКП - неопределенный интеграл ... то только для аналитических функций?

Я тут особо не знаток. В одном учебнике для инженеров я видел определение неопределённого интеграла. Определялся он для функции аналитической в односвязной области без особых точек. Смысл его определения был видимо в упрощении вычисления определённого интеграла. По-видимому, там даже речь шла не о неопределённом интеграле, а об первообразной (но я точно не помню).

[Antoshka]

пианист в сообщении #1594356 писал(а):

Дифференциальными уравнениями на функции комплексной переменной занимается аналитическая теория дифференциальных уравнений (есть книжечка Голубева на эту тему).

мат-ламер в сообщении #1594357 писал(а):

По-видимому, там даже речь шла не о неопределённом интеграле, а об первообразной (но я точно не помню).

Благодарю. Почитаю. Примерно это мне и надо было. Вы не знаете кстати, чтобы в wolfram mathematica считать комплексные интегралы, надо набрать команду

Integrate[интеграл, Complex]

У меня если я такую команду набираю, программа выдаёт результат, но я не понимаю, как задавать путь интегрирования