Двойственное пространство не для функций

[Maxim19]

Здравствуйте. Вам наверное известно про то, что любая линейная функция имеет свой базис, который выражается через действие этой функции на базис вектора. Меня заинтересовало то, что линейный оператор над векторным пространством является линейным оператором и над пространством сопряжённым, то есть над функциями линейными. А есть такая же теория, только для например линейных отображений не в поле, как для функций, а, например, для отображений в пространство двумерное и так далее. Можно ли будет в таком случае выделить какой либо базис через базис векторного пространства, над которым это отображение? Если коротко, то существует ли содержательная теория по типу сопряжённых пространств, только для отображений не в одномерное пространство?

-- 05.05.2023, 16:49 --

И обязательно ли размерность этого отображения из $V_n$ в $V_2$ будет равняться двум? $V_n$ векторное пространство размерности $2n$

[mihaild]

Maxim19 в сообщении #1592637 писал(а):

Вам наверное известно про то, что любая линейная функция имеет свой базис, который выражается через действие этой функции на базис вектора

Нет, неизвестно. И даже что такое "базис вектора" неизвестно.
Можете, процитировать, привести определение, или дать ссылку на него?

Maxim19 в сообщении #1592637 писал(а):

линейный оператор над векторным пространством является линейным оператором и над пространством сопряжённым

Вообще говоря, это неверно. Если у вас есть линейный оператор $A: X \to Y$, то по нему можно построить сопряженный оператор $A^*: Y^* \to X^*$, по правилу $(A^*f)(x) = f(Ax)$.
Я не знаю, есть ли что-то по этому поводу для просто векторных пространств. Для топологических (ну и нормированных и гильбертовых) - есть гигантский раздел функционального анализа про операторы.

[Maxim19]

Вам что нибудь известно подобное про не функции, а операторы, которые отображают в не единичную мерность пространство?

-- 05.05.2023, 17:09 --

Хотя ладно, вопрос слишком обширный. Думаю стоит посмотреть в сторону тензоров. Может это оно

[mihaild]

В математике нет слова "мерность", есть слово "размерность". Оно применимо к векторным пространствам. К отображениям оно не применимо. И это числовая характеристика, отображений в неё не бывает.
Вы же читали Кострикина? У него в "Линейной алгебре и геометрии" говорится и об операторах, и о сопряжении на них.

[Maxim19]

Но там по определению сопряжённое пространство - пространство линейных функций. Я же хочу не функции, а нечто более общее. Интересно будет знать, можно ли выразить базис линейного отображения через базис пространства, как это делается в линейных функциях(я имею ввиду двойственный базис). Однако теория для не функций, видно, более скудная. Там "сопряжённые" операторы, а вернее их более общие аналоги, если таковые вообще есть, будут других размеров и потеряется вся красота

-- 05.05.2023, 17:41 --

В общем я понял, как можно сделать более общий аналог. Можно посмотреть, как действует этот оператор на базисный вектор пространства, и как он отображает его в базисный вектор пространства, на которое отображается. Коэффициент при том базисном векторе и будет координатой одно из вектора того отображения. По сути всё аналогично сопряжённым, за исключением отсутствия биекции между операторами над отображаем, и над векторным пространством, которое отображают

[svv]

(mihaild)

mihaild в сообщении #1592641 писал(а):

В математике нет слова "мерность", есть слово "размерность".

А вот инопланетяне в «Третьем обращении к человечеству» (в сети есть много где, например, тут) говорят:

Цитата:

Ошибочно и представление о всеобщей трехмерности пространства, на котором прежде всего базируются ваши космогонические представления. Мир хаотичен, в нем нет ничего незыблемого, в том числе и мерности. Мерность пространства во Вселенной колеблется, плавно меняется в весьма широких пределах. Наилучшим условием для возникновения органической жизни является мерность пространства, равная Пи (3,14159…). Значительные отклонения от этой величины пагубно действуют на живую природу. В настоящее время окрестности Солнечной системы имеют мерность +3,00017…, и близость этого числа к целому числу 3 ввела вас в заблуждение.

В окрестности вашего скопления галактик дрейфует гравитационный циклон, имеющий в центре мерность -3,15… (sic! — svv), который может задеть краем вашу Галактику, уничтожив органическую жизнь на всех планетах, на которых не будут приняты меры по защите.

[mihaild]

Maxim19 в сообщении #1592645 писал(а):

Я же хочу не функции, а нечто более общее

Ну более общее - это как раз линейные операторы.

Maxim19 в сообщении #1592645 писал(а):

можно ли выразить базис линейного отображения

Нельзя, потому что понятия "базис линейного отображения" нет.

Maxim19 в сообщении #1592645 писал(а):

По сути всё аналогично сопряжённым, за исключением отсутствия биекции между операторами над отображаем, и над векторным пространством, которое отображают

Если это прочитать как "отсутствие биекции между пространством и сопряженным к нему", то такой биекции может не быть и для обычного сопряженного для бесконечномерного случая.