Сложности с вероятностной моделью

[Sdy]

Эта задача встречается в интернете в разных вариациях, которые на суть её не сильно влияют.
Представим что у нас есть компьютерная игра, в которой по прямой по кувшинкам прыгает лягушка. Время на прохождение одного уровня в этой игре постоянно и равно $t_1$ минут (то есть вот этих вот $t_1$ минут непрерывных прыжков хватает для прохождения одного уровня). Но вот незадача, иногда лягушку смывает с кувшинки (вероятность этого постоянна и равна $p$). Тогда чтобы вернуться на кувшинку она тратит случайное время $t_2 \in [0, t]$ минут и после возврата она продолжает невозмутимо прыгать дальше. Собственно говоря вопрос в том, сколько уровней лягушка наиболее вероятно пройдёт за какое-то фиксированное количество времени $T$.
Пока лягушка возвращается "на путь", ещё раз снести её не может.

Я сформулировал задачу "в терминах лягушки", потому что в такой вариации мне проще о ней думать, обычно там какой-нибудь станок или рабочий.
Мне почему-то казалось, что задачу можно смоделировать марковской цепью. Казалось бы, текущее состояние лягушки всегда определяет то что она будет делать в следующий момент. Если она прыгает по кувшинкам, то в каждый момент времени ее либо сносит с вероятностью $p$, либо она прыгает дальше с вероятностью $1-p$. Если её уже снесло, то с вероятностью $1$ она плывёт на кувшинку.
Но проблема в том что в тех задачах, что я решал, обычно нет, скажем так, времени нахождения в каком-то состоянии. Есть просто состояния и вероятности перехода между ними. Ну и честно сказать, мне приходилось решать задачи только с марковскими цепями с дискретным временем. Обычно там сильно помогает теорема Маркова и матрица переходных вероятностей.

Собственно говоря, вопроса тут $2$:
$1$. Даже если задача не моделируется марковской цепью, бывает ли вообще модель марковской цепи, где учитывается время нахождения в состояниях? То есть можно ли где-то об этом почитать? Этот вопрос из интереса, мой беглый поиск каких-то однозначных результатов не дал, но возможно, я не знаю тут правильную терминологию.
$2$. Второй вопрос более практичный -- как тут подходить к моделированию? Хотелось бы совсем небольшую подсказку, так как задача из "банка" тестовых (на собеседованиях такие дают и, видимо, экзаменах, хотя банки задач экзаменов именитых ВУЗов охраняются похлеще банков с тестовыми заданиями :) ) и тут важно додуматься до решения самому. Может быть, я бы решил какую-то более простую версию этой задачи для начала.

[zykov]

Sdy в сообщении #1592499 писал(а):

она тратит случайное время $t_2 \in [0, t]$ минут

как распределено? равномерно?

смыть может только один раз на уровень?
или может смыть с каждой кувшинки? (тогда надо знать количество кувшинок на уровень)

-- 04.05.2023, 21:01 --

Sdy в сообщении #1592499 писал(а):

как тут подходить к моделированию?

Просто.
С вероятностью $1-p$ время равно нулю, с вероятностью $p$ время имеет какое-то распределение (например равномерное).
Значит такое распределение времени и получим (пик в нуле и плотность вероятности в диапазоне). Далее складываем случайные величины и находим распределение для суммы. Должно приближаться к нормальному (Центральная предельная теорема).

[Sdy]

zykov в сообщении #1592512 писал(а):

как распределено? равномерно?

Пусть для начала равномерно на отрезке от $0$ до $t$, п.к. мне это кажется самым логичным предположением, хотя явно об этом не пишут.

zykov в сообщении #1592512 писал(а):

смыть может только один раз на уровень?
или может смыть с каждой кувшинки? (тогда надо знать количество кувшинок на уровень)

Вероятность того что её смоёт в каждый момент прохождения уровня одинакова (ну, кроме момента, когда её уже снесло) и равна $p$.
То есть чисто теоретически, она может за время $T$ вообще не пройти ни одного уровня, если $p$ достаточно большое.

Количество кувшинок неизвестно. Может они тут лишние, смыть её может в любой момент прохождения уровня, мне просто с ними как-то проще думать.

[mihaild]

Sdy в сообщении #1592515 писал(а):

Вероятность того что её смоёт в каждый момент прохождения уровня одинакова (ну, кроме момента, когда её уже снесло) и равна $p$

Это нужно уточнять. Если в каждый момент её смывает с вероятностью $p > 0$, то её просто непрерывно смывает.
Может быть имеется в виду, что за время $x$ её смывает с вероятностью $1 - (1 - p)^x$?

[zykov]

Sdy в сообщении #1592515 писал(а):

Вероятность того что её смоёт в каждый момент прохождения уровня одинакова (ну, кроме момента, когда её уже снесло) и равна $p$.

Так может быть, только если "моменты" дискретны. Например прыжок с кувшнки на кувшинку - это "момент".
Если "моменты" времени непрерывны, то там не может быть вероятности, а должна быть плотность вероятности в единицу времени.

Нужно Вам условия задачи прояснить.

[Sdy]

zykov, mihaild,
видимо, я не чувствую какой-то глубокой разницы в формулировке с работником и с моей лягушкой.
Пусть у нас есть работник, который трудится на производстве. Чтобы выполнить одну работу ему нужно $t_1$ минут. Но с вероятностью $p$ работника отвлекают от работы, причём в каждый момент выполнения работы вероятность того что его отвлекут равна $p > 0$. Отвлекли $=$ смыли с пути и дальше всё по тексту.

[mihaild]

Sdy в сообщении #1592525 писал(а):

видимо, я не чувствую какой-то глубокой разницы в формулировке с работником и с моей лягушкой.

А где формулировка с работником?

Sdy в сообщении #1592525 писал(а):

Но с вероятностью $p$ работника отвлекают от работы, причём в каждый момент выполнения работы вероятность того что его отвлекут равна $p > 0$

Если вероятность того, что работника отвлекут в момент $t = 1$ равна $1/2$, того что в момент $t = 1/2$ его отвлекут тоже равна $1/2$, в момент $t = 1/3$ тоже $1/2$ и т.д., то, как несложно посчитать, с вероятностью единица его отвлекут немедленно, как только он начнет.

[Sdy]

mihaild в сообщении #1592535 писал(а):

Если вероятность того, что работника отвлекут в момент $t = 1$ равна $1/2$, того что в момент $t = 1/2$ его отвлекут тоже равна $1/2$, в момент $t = 1/3$ тоже $1/2$ и т.д., то, как несложно посчитать, с вероятностью единица его отвлекут немедленно, как только он начнет.

Интуитивно понимаю, формально пока не могу это воспроизвести.
То есть для всякого $n > 1$ вероятность того что его отвлекут в момент $\frac{1}{n}$ равна $p$, это правда. А какие расчёты помогают понять, что его будут отвлекать непрерывно, а лягушку будет непрерывно сносить?
Для меня это немного контринтуитивно выглядит просто.

[zykov]

Для непрерывного случая вероятность того что отвлекут в малый промежуток времени $[t, t+\Delta t]$ равна $\rho \Delta t$, где $\rho$ - плотность вероятности.
Например так описывают распад нестабильного ядра атома.

Но вряд ли в задаче с лягушкой речь идёт о непрерывном случае. Тем более, что дана вероятность $p$, не плотность вероятности.
Т.е. там должна быть дискретная формулировка.
Значит Вам надо разобратся с источником задачи и уточнить формулировку.

[mihaild]

Sdy в сообщении #1592544 писал(а):

А какие расчёты помогают понять, что его будут отвлекать непрерывно, а лягушку будет непрерывно сносить?

Ну считая отвлечения независимыми, т.е. что вероятность отвлечения в момент $1/n$ при условии, что не отвлекли раньше, равна $p$, обнаруживаем, что вероятность отсутствия отвлечения на интервале $[1/2n, 1/n]$ равна $(1 - p)^n$, что стремится к нулю при $n \to \infty$.

[Sdy]

mihaild в сообщении #1592552 писал(а):

Ну считая отвлечения независимыми, т.е. что вероятность отвлечения в момент $1/n$ при условии, что не отвлекли раньше, равна $p$, обнаруживаем, что вероятность отсутствия отвлечения на интервале $[1/2n, 1/n]$ равна $(1 - p)^n$, что стремится к нулю при $n \to \infty$.

Спасибо. То есть в каждый момент времени вида $\frac{1}{n}$ у нас вероятность того что лягушку смоет равна $p$, тогда в этот же момент времени вероятность того что её не смоет равна $1-p$ и если мы возьмём подряд $n$ точек вида $\frac{1}{2n}, \frac{1}{2n-1},..., \frac{1}{n}$, то вероятность того что её не смоёт ни в какой из этих моментов равна $(1-p)^n$ просто по независимости.
Это я понимал вроде как, просто думал "законен" ли здесь предельный переход.

zykov в сообщении #1592548 писал(а):

Тем более, что дана вероятность $p$, не плотность вероятности.
Т.е. там должна быть дискретная формулировка.

Спасибо, тогда ясно, почему мои попытки построения модели провалились. Думал, что здесь хитрость какая-то есть.

[mihaild]

Sdy в сообщении #1592584 писал(а):

Это я понимал вроде как, просто думал "законен" ли здесь предельный переход.

Прямо предельный переход тут не нужен.
Но вероятность того, что отвлекут на отрезке $[0, \varepsilon]$ никак не меньше чем вероятность, что отвлекут на множестве $1/n, \ldots, 1/2n$ при $1/n < \varepsilon$. А эта вероятность бывает сколь угодно близка к единице, значит и вероятность того что отвлекут на отрезке $[0, \varepsilon]$ единица.

[Doctor Boom]

Sdy
Ну что, решили задачу то? Условие же ясное абсолютно, моменты времени дискретны, или лягушка проводит ноль секунд на кувшинке, все время в полете.

[ipgmvq]

Sdy
Обозначим за $m$ количество уровней/прыжков.
Я исхожу из того (хотя это не оговорено), что $t_2$ имеет равномерное распределение с матожиданием $\frac{t}{2}$. Сумма этих независимых случайных величин, имеющих равномерное распределение, имеет распределение Ирвина–Холла с матожиданием $\frac{n t}{2}$, где $n$ — их (неизвестное) количество.
Моя интерпретация задачи: у смывания есть постоянная плотность вероятности во времени, такая что вероятность (хотя бы одного) смывания на протяжении одного этапа (т.е. времени $t_1$) составляет $p$. Соответственно интервалы между смываниями являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами с экспоненциальным распределением.
Из моего понимания, изложенного выше, мы знаем, что для функции распределения этой случайной величины $1 - e^{-\lambda x}$ нам известно, что:
$1 - e^{-\lambda t_1} = p$
Соответственно
$ \lambda = -\frac{ \ln(1-p) }{ t_1 } $.
Соответственно количество смываний за один этап будет описываться распределением Пуассона с той же $ \lambda $. А распределение количества смываний за все $m$ этапов, которое является параметром $n$ в распределении Ирвина–Холла выше, будет описываться распределением Пуассона с $ \lambda = -\frac{ m \ln(1-p) }{ t_1 } $.
Поскольку эта случайная величина $n$ независима от $t_2$, матожидание длительности прохождения всех этапов будет равно:
$m t_1 - \frac{ m t \ln(1-p) }{ 2 t_1 } = m (t_1 - \frac{ t \ln(1-p) }{ 2 t_1 }) $

[Sdy]

mihaild,
спасибо.

ipgmvq,
спасибо за интересные идеи, но мы не знаем количество уровней. Поэтому вопрос и ставится так, что нужно сказать что-то о вероятности прохождения какого-то фиксированного количества уровней за отведённое время. Теоретически, количество уровней неограниченно. Понятно, что я пытаюсь решить в каких-то адекватных ограничениях для начала, но они наложены на $t_1, t, T$ и их соотношения, а вот как-то оперировать количеством уровней нельзя.