Подобие матриц

[Maxim19]

Доброго времени суток. Возился с задачей: доказать, что две вещественные подобные матрицы над полем комплексным будут подобны и в вещественном поле. Решил использовать тот факт, что оператор сопряжения над полем комплексным образует изоморфизм. Иными словами задачу можно записать так $B=C^{-1}AC=C\prime^{-1}AC\prime$, где $C\prime$ это матрица из сопряжённых элементов матрице $C$. Осталось как-то наколдовать так, чтобы с двух сторон от $A$ было произведение обычной матрицы и матрицы из сопряжённых элементов. Она по очевидным соображениям будет веществена. Но у меня не получается преобразованиями этого добиться. Может эта задача решается иначе?

[Padawan]

Пусть $C=C_1+iC_2$, где матрицы $C_1$, $C_2$ вещественны. Из $AC=CB$ получаем $AC_1=C_1B$, $AC_2=C_2B$, откуда для любого действительно числа $t$ получаем $A(C_1+tC_2)=(C_1+tC_2) B$. Осталось показать, что при подходящем $t\in\mathbb R$ будет выполнено $\det(C_1+tC_2) \neq 0$

[Евгений Машеров]

А $A$ и $B$ заведомо вещественные?

[Maxim19]

Да, вещественные

-- 04.05.2023, 14:30 --

Padawan
Как всё просто оказывается. Спасибо. Даже в голову не пришло просто разложить эту матрицу на вещественные с мнимой единицей