Уравнение с параметром. Есть ли более простое решение?

[WinterPrimat]

Есть следующее уравнение:
$\sin\left(2\left(x-\pi\right)\right)-\sin\left(3x-\pi\right)=a\sin\left(x\right)$
Условие: найти такие $a$, чтоб уравнение имедо одно решение на промежутке $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$.
Я его привел в божеский вид:
$\sin\left(x\right)\left(4\cos^2\left(x\right)+2\cos\left(x\right)-\left(a+1\right)\right)=0$
Отсюда пришел к совокупности:
$\left[\begin{matrix} \sin\left(x\right)=0\\4\cos^2\left(x\right)+2\cos\left(x\right)-\left(a+1\right)=0 \end{matrix}\right.$
Понятно, что на заданном промежутке есть корень $x=0$.
Для второго уравнение следует рассмотреть 4 случая:
1) $D<0\;\;\;\left(a<-1.25\right)$
2) $D\geq 0\;\;\;\left(a\geq -1.25\right)$
2.1) Больший из корней меньше нуля. $\left(-1.25\leq a<-1\right)$
2.2) Меньший из корней больше либо равен единице. $\left(a\in\emptyset\right)$
2.3) Одновременно меньший корень меньше нуля, больший больше либо равен единице. $\left(a\geq 5\right)$
$a\in\left(-\infty,-1\right)\cup\left[5,+\infty\right)$
И вобщем-то, с ответом все в порядке. Но хочется узнать, есть ли способ избежать такого количества случаев? Соединить какие-то из них, скажем? Или вообще изменить подход к решению?
Спасибо.

[Combat Zone]

Довольно быстро и не думая получается графически, но приходится задействовать производные. Не знаю, насколько это спортивно в вашем случае.

Можно решать графически на плоскости $(t,a)$, где $t=\cos x$, используя уже вашу готовую систему, вообще все сразу получается.

[WinterPrimat]

Combat Zone
А можно более подробно о первом способе, с производной?

[Combat Zone]

Второй быстрее. Первый раньше пришел в голову, он не учитывал вашего решения.

[mihiv]

Найдем сначала те значения параметра, при которых решение на $[0,\frac {\pi }2]$ не единственно.
Неединственность возможна только если те значения $\cos x$, при которых выполняется второе уравнение удовлетворяют неравенствам $0\leqslant \cos x <1,$ или $0\leqslant \dfrac {-1+\sqrt {1+4(a+1)}}4<1.$ Отсюда решение не единственно при $-1\leqslant a<5$ и, следовательно, единственное решение получим при $a\in (-\infty ,-1)\cup [5,\infty)$.

[WinterPrimat]

mihiv
Спасибо!