Из сходимости доказать равномерную сходимость

[artempalkin]

"Много однотипных" нельзя писать, но я напишу два, которые, наверное, где-то как-то близко решаются, и которые оба я понятия не имею, как решать...

Доказать, что если сходится ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$, то следующий ряд сойдется равномерно на $[0,+\infty)$

1) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_ne^{-nx}$
2) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^x}$


(это задачи 48, 49 Кудрявцев 2 часть стр. 379)
В обоих случаях нет никаких идей. Если бы речь шла об исходной абсолютной сходимости, проблем бы не было. А поскольку абсолютной сходимости нет, то и с модулями и всякими мажорированиями особо не поработаешь. Область тоже неудобная, если бы было от положительного числа до бесконечности, опять же, проблем бы не было. Единственное, что приходит в голову: представить в виде суммы двух равномерно сходящихся рядов, но пока как-то не особо получается...

[мат-ламер]

Попробуйте применить признак Абеля.
(Фихтенгольц, п.430 - у нас $b_n$ (в обозначениях Фихтенгольца) от $x$ не зависят. В наших обозначениях это $a_n$).