Страсти по формуле Кардано

[Kolloidnaya khimiya]

I. Правильно ли проведено преобразование исходного уравнения?
II. Имеет ли конечное уравнение гидродинамическую интерпретацию?

$\sqrt{g_3^2f^2-2g_3h_2u}=|\sqrt{f^2-2h_1u}+(g_3-1)f-Lu|$
$u=u(f)$
$u=\frac{g_1}{v^2}(f^2+1)$, $v=v(f)$, $f=\tg\varphi$
$g_3=\frac{g_1}{g_2}>1$

$u^3+au^2+bu+c=0$
$u=u(f_1)$
$u\le\frac{g_3}{2h_2}f^2, u\le\frac{1}{2h_1}f^2$
$a=-4[(g_3-1)f_1-(\varepsilon_1+g_3\varepsilon_2)]$, $b=4[(g_3^2-g_3-1)f_1^2-2(g_3-1)(\varepsilon_1+g_3\varepsilon_2)f_1+(\varepsilon_1-g_3\varepsilon_2)^2]$, $c=8g_3(g_3-1)[f_1^3-(\varepsilon_1-\varepsilon_2)f_1^2]$
$f_1=\frac{f}{L}$
$\varepsilon_{1,2}=\frac{h_{1,2}}{L^2}$

$u_1^3+a_1u_1^2+b_1u_1+c_1=0$
$u_1=u_1(f_2)$
$u_1=\frac{3}{2(\varepsilon_1+g_3\varepsilon_2)}u$
$a_1=-6(2f_2-1)$, $b_1=-3[(g_0^2-2\sqrt{3}g_0-12)f_2^2+12f_2+\varepsilon_3-3]$, $c_1=18\{(g_0^2+2\sqrt{3}g_0)f_2^3+[(g_0+\sqrt{3})\varepsilon_0-\sqrt{3}(g_0+2\sqrt{3})]f_2^2\}$
$f_2=\frac{g_3-1}{2(\varepsilon_1+g_3\varepsilon_2)}f_1$
$g_0=\frac{2\sqrt{3}}{g_3-1}$; $\varepsilon_3=-\varepsilon_0^2+2\sqrt{3}\varepsilon_0$, $\varepsilon_0=\frac{2\sqrt{3}g_3\varepsilon_2}{\varepsilon_1+g_3\varepsilon_2}$

$u_2^3+b_2u_2+c_2=0$
$u_2=u_2(f_2)$
$u_2=u_1-2(2f_2-1)$
$b_2=-3b_0$, $b_0=(g_0^2-2\sqrt{3}g_0+4)f_2^2-4f_2+\varepsilon_3+1$
$c_2=2c_0$, $c_0=(3g_0^2+30\sqrt{3}g_0+8)f_2^3+\varepsilon_4f_2^2-6(\varepsilon_3-1)f_2+3\varepsilon_3-1$
$\varepsilon_4=3[3(g_0+\sqrt{3})\varepsilon_0+g_0^2-5\sqrt{3}g_0-22]$

[Kolloidnaya khimiya]

$\sqrt{g_3^2f^2-2g_3h_2u}=|\sqrt{f^2-2h_1u}+(g_3-1)f-Lu|$
$u=u(f)$
$u=\frac{g_1}{v^2}(f^2+1)$, $v=v(f)$, $f=\tg\varphi$
$g_3=\frac{g_1}{g_2}>1$

$u\le\frac{g_3}{2h_2}f^2$, $u\le\frac{1}{2h_1}f^2$,
$[Lu-(g_3-1)f]\{L^2u^2-2[(g_3-1)Lf+h_1-g_3h_2]u-2(g_3-1)f^2\}>0$
$u\le\frac{g_3}{2h_2}f^2$, $u\le\frac{1}{2h_1}f^2$,
$[Lu-(g_3-1)f]\sqrt{f^2-2h_1u}=0$ $\Leftrightarrow$ $L^2u^2-2[(g_3-1)Lf+h_1-g_3h_2]u-2(g_3-1)f^2=0$

$u_1^3+au_1^2+bu_1+c=0$
$u_1=u_1(f_1)$
$u_1=\frac{3L^2}{\sqrt[3]{4}(h_1+g_3h_2)}u$
$f_1=\frac{(g_3-1)L}{h_1+g_3h_2}f$
$a=-6\sqrt[3]{2}(f_1-1)$
$b=-3\sqrt[3]{4}[(g_0^2-\sqrt{3}g_0-3)f_1^2+6f_1+\varepsilon_1-3]$
$c=18\{(g_0^2+\sqrt{3}g_0)f_1^3+[(2g_0+\sqrt{3})\varepsilon_0-\sqrt{3}(g_0+\sqrt{3})]f_1^2\}$
$\varepsilon_1=-4(\varepsilon_0^2-\sqrt{3}\varepsilon_0)$, $\varepsilon_0=\frac{\sqrt{3}g_3h_2}{h_1+g_3h_2}$; $g_0=\frac{\sqrt{3}}{g_3-1}$

$u_2^3+b_1u_2+c_1=0$
$u_2=u_2(f_1)$
$u_2=u_1-\sqrt[3]{16}(f_1-1)$
$b_1=-3b_0$, $b_0=\sqrt[3]{4}[(g_0^2-\sqrt{3}g_0+1)f_1^2-2f_2+\varepsilon_1+1]$
$c_1=2c_0$, $c_0=(3g_0^2+15\sqrt{3}g_0+2)f_1^3+\varepsilon_2f_1^2-6(\varepsilon_1-1)f_1+6\varepsilon_1-2$
$\varepsilon_2=3[3(2g_0+\sqrt{3})\varepsilon_0+2g_0^2-5\sqrt{3}g_0-11]$

[Kolloidnaya khimiya]

Kolloidnaya khimiya в сообщении #1612375 писал(а):

$\sqrt{g_3^2f^2-2g_3h_2u}=|\sqrt{f^2-2h_1u}+(g_3-1)f-Lu|$
$u=u(f)$
$u=\frac{g_1}{v^2}(f^2+1)$, $v=v(f)$, $f=\tg\varphi$
$g_3=\frac{g_1}{g_2}>1$

$u\le\frac{g_3}{2h_2}f^2$, $u\le\frac{1}{2h_1}f^2$,
$[Lu-(g_3-1)f]\{L^2u^2-2[(g_3-1)Lf+h_1-g_3h_2]u-2(g_3-1)f^2\}>0$
$u\le\frac{g_3}{2h_2}f^2$, $u\le\frac{1}{2h_1}f^2$,
$[Lu-(g_3-1)f]\sqrt{f^2-2h_1u}=0$ $\Leftrightarrow$ $L^2u^2-2[(g_3-1)Lf+h_1-g_3h_2]u-2(g_3-1)f^2=0$

$u_1^3+au_1^2+bu_1+c=0$
$u_1=u_1(f_1)$
$u_1=\frac{3L^2}{\sqrt[3]{4}(h_1+g_3h_2)}u$
$f_1=\frac{(g_3-1)L}{h_1+g_3h_2}f$
$a=-6\sqrt[3]{2}(f_1-1)$
$b=-3\sqrt[3]{4}[(g_0^2-\sqrt{3}g_0-3)f_1^2+6f_1+\varepsilon_1-3]$
$c=18\{(g_0^2+\sqrt{3}g_0)f_1^3+[(2g_0+\sqrt{3})\varepsilon_0-\sqrt{3}(g_0+\sqrt{3})]f_1^2\}$
$\varepsilon_1=-4(\varepsilon_0^2-\sqrt{3}\varepsilon_0)$, $\varepsilon_0=\frac{\sqrt{3}g_3h_2}{h_1+g_3h_2}$; $g_0=\frac{\sqrt{3}}{g_3-1}$

$u_2^3+b_1u_2+c_1=0$
$u_2=u_2(f_1)$
$u_2=u_1-2\sqrt[3]{2}(f_1-1)$
$b_1=-3b_0$, $b_0=\sqrt[3]{4}[(g_0^2-\sqrt{3}g_0+1)f_1^2-2f_2+\varepsilon_1+1]$
$c_1=2c_0$, $c_0=(3g_0^2+15\sqrt{3}g_0+2)f_1^3+\varepsilon_2f_1^2-6(\varepsilon_1-1)f_1+6\varepsilon_1-2$
$\varepsilon_2=3[3(2g_0+\sqrt{3})\varepsilon_0+2g_0^2-5\sqrt{3}g_0-11]$

[Kolloidnaya khimiya]

$\sqrt{-(H+h)u+\frac{1}{4}g_3^2f^2}=|u-f-\sqrt{(h-H)u+\frac{1}{4}(g_3-2)^2f^2}|$
$u=(f^2+1)v_0, v_0=\frac{g_1g_2L}{(g_1-g_2)v^2}, v=v(f), f=\tg\varphi$
$g_3=\frac{2g_1}{g_1-g_2}, g_1>g_2$
$H=\frac{g_2h_1+g_1h_2}{(g_1-g_2)L}, h=\frac{g_1h_2-g_2h_1}{(g_1-g_2)L}$
$u^3-2(2f-H)u^2-[(g_3^2-8)f^2+4Hf-h^2]u+2f^2[(g_3^2-2g_3)f+H-(g_3-1)h]=0$