Эллиптическое уравнение

[икс и грек]

Найти все решения уравнения $y^2=x^3+(x+4)^2$ в целых числах.

[maxal]

Во-первых, заметим, что $(x,y)=(0,\pm 4)$ дает решение. В дальнейшем будем предполагать, что $x\ne 0$.

Перепишем уравнение в виде $(y+x+4)(y-x-4)=x^3$ и заметим, что НОД $d:=\gcd(y+x+4,y-x-4)$ делит $y+x+4 - (y-x-4)=2x+8$.
Так как $d^2$ делит $\gcd((2x+8)^2,x^3)$, что в свою очередь делит $(3x^2 - 8x + 16)(2x+8)^2 - (12x + 64)x^3 = 1024=2^{10}$, то $d\mid 2^5$.
Поэтому исходное уравнение распадается на два:

$$\begin{cases} y+x+4 = u^3 2^a\\ y-x-4 = v^3 2^b\end{cases}$$

,
где $u, v$ - нечетные, $\gcd(u,v)=1$, $3\mid (a+b)$ и $\min\{a,b\}\leq 5$.
Выражая $x$ двумя способами, получаем:

$$\frac{u^3 2^{a} - v^3 2^{b}}{2} - 4 = uv 2^{\frac{a+b}3}.$$

Заметим, что равенство $a=b=0$ невозможно, так как левая часть в этом случае четна (в виду того, что $u^3\equiv v^3\equiv 1\pmod{8}$), а правая - нет. Поэтому $\min\{a,b\}\geq 1$.

Если $a=b$, то с необходимостью имеем $a=b=3$, что дает уравнение:

$$u^3 - v^3 - 1 = uv,$$

которое не имеет нечетных целочисленных решений (в виду того, что при ненулевых $u\ne v$ имеет место неравенство $|u^3 \pm v^3|\geq 3|uv| \geq |uv| + 2.$)


Предположим, что $a\ne b$, и рассмотрим следующие случаи:

i) Случай $\min\{a,b\}=1$ невозможен из-за соображений четности.

ii) Если $\min\{a,b\}=2,$ то с необходимостью имеем $\frac{a+b}{3}=1$, что невозможно.

iii) Если $\min\{a,b\}=3,$ то с необходимостью имеем $b=3$ и $a=6$, что дает уравнение:

$$32 u^3 - 4v^3 - 4 = 8uv$$

или

$$(2u)^3 - v^3 - 1 = (2u)v$$

которое опять же не имеет нечетных целочисленных решений (см. выше).

iv) Если $\min\{a,b\}\geq 4,$ то $\frac{a+b}{3}=2$, что невозможно.

Вывод: $(x,y)=(0,\pm 4)$ - единственные решения исходного уравнения.