Простая экономическая задача из ЕГЭ

[bitcoin]

Добрый день! Подскажите, пожалуйста, а эта задача решается только в лоб или есть способ попроще?

Цитата:

1 апреля 2023 года Владимир Анатольевич взял $3\;000\;000$ рублей в ипотеку для покупки недвижимости. 2 числа каждого месяца банк начисляет 5% (на оставшуюся сумму долга), $17$ числа каждого месяца Владимир Анатольевич делает платеж. На какое минимальное количество месяцев Владимир Анатольевич может взять кредит, чтобы ежемесячные платежи были не больше $300 \;000$ рублей?

Можно сказать, что $S = 3\;000$, а также обозначить $k=1,05$, тогда можно последовательность долгов расписывать, выплачивая каждый раз по 300 тыс рублей.

$S$, $Sk-300$, $(Sk-300)k-300$, $((Sk-300)k-300)k-300$ и так дальше, считать в лоб, подставляя числа. Сразу понятно, что количество месяцев - больше 10.

Можно обозначить за $n$ число месяцев, то можно записать расписать все и свернуть в формулу $Sk^n=300\cdot \dfrac{k^n-1}{k-1}$ и последовательно подставлять разные $n$, начиная с 11. Понятно, что последний платеж скорее всего будет меньше 300 000. Но есть ли еще какие-то варианты поинетреснее? Может быть есть какая-то оценка, которая избавиться от рутинных вычислений? (если не прибегать помощи калькулятора и компьютера)

[svv]

Добрый день.
Пусть $S_n$ — долг в конце $n$-го месяца. Можно считать, что "нулевым месяцем" был март 2023 года, и клиент взял кредит 31 марта, тогда $S_0=3$ (все суммы в миллионах рублей). Фактически, Вы получили рекуррентную формулу
$S_{n+1}=kS_n-a$, где $k=1.05, a=0.3$

Сделаем замену $S_n=b-T_n$. Выберем $b$ так, чтобы при подстановке этого в рекуррентную формулу все свободные члены (без $T$) сократились. Тогда $b=\frac a{k-1}=6$, а рекуррентная формула принимает вид
$T_{n+1}=kT_n, \quad T_0=b-S_0=3$
Отсюда $T_n=3k^n$.

Когда кредит выплачен, $S_n=0$ (точно так получится при дробном $n$, но мы округлим в большую сторону), то есть $T_n=6$, или $k^n=2$, откуда
$k=\log_{1.05}2\approx 14.2$
То есть нужно брать кредит на $\geqslant 15$ месяцев.

Параметр $b$ имеет интересный смысл — это такая величина кредита, при которой размер долга после начисления банком $5\%$ и ежемесячной выплаты $0.3$ миллиона рублей остаётся тем же:
$\begin{array}{l}6\cdot 1.05=6.3\\6.3-0.3=6\end{array}$

[bitcoin]

Спасибо большое! Понял.