Задачка про определители матрицы

[Maxim19]

Здравствуйте, решаю задачку:
все заглавные английские буквы - матрицы одного размера над полем действительных чисел

$$\begin{bmatrix} A& B \\ C & D\\ \end{bmatrix}=\det{(AD-ACA^{-1}B)}$$

Вот это надо доказать

-- 18.04.2023, 00:31 --

Я представил определитель в явном виде, но что-то не могу связать это с обратной матрицей

-- 18.04.2023, 00:32 --

Тем более непонятно, как потом этот определитель в явном виде предсвить в виде разностей матриц. Может я как то не так делаю?

[svv]

Чтобы формула была справедлива,
1) слева должен быть определитель (прямые скобки), а не матрица (квадратные скобки);
2) $A$ должна быть обратимой.
Умножьте
$\begin{vmatrix}A&B\\C&D\end{vmatrix}\underbrace{\begin{vmatrix}E&-A^{-1}B\\0&E\end{vmatrix}}_{=1}$

[artempalkin]

Такой вам вопрос. Что случится с матрицей $\begin{bmatrix} A&B\end{bmatrix}$, если слева умножить ее на какую-нибудь подходящую матрицу?

[Maxim19]

artempalkin
Не понял, в чём вопрос.

-- 18.04.2023, 23:49 --

svv
Сделал, получилась блочная треугольная нижняя, где определитель из произведения того. Пасибо

[artempalkin]

Maxim19 в сообщении #1590209 писал(а):

Не понял, в чём вопрос.

С точки зрения элементарных преобразований, что случится с матрицей, если слева умножить ее на другую матрицу? иначе говоря, как получившаяся матрица будет соотноситься с исходной