Вероятность, что произвольное натуральное число будет чëтным

[alex18]

Помогите, пожалуйста, осознать, как подступиться к задаче.

Из множества натуральных чисел выбирают наугад одно число. Требуется найти вероятность того, что выбранное число чëтное. Указания - вероятность не 1/2, и задача гораздо сложнее, чем кажется.

В попытках рассуждать, как прийти к вероятности, не равной 1/2, пришло в голову, что если рассматривать множество натуральных чисел как объединение всевозможных множеств первых n натуральных чисел, то в половине случаев нечëтных будет на 1 больше и, следовательно, вероятность чëтного в таких случаях будет меньше 1/2 и можно ожидать, что и в целом она будет меньше. Но как формально приблизиться к каким-нибудь адекватным рассуждениям, не могу представить. Заранее благодарю за советы!

[zykov]

alex18 в сообщении #1589490 писал(а):

следовательно, вероятность чëтного в таких случаях будет меньше 1/2 и можно ожидать, что и в целом она будет меньше

Но по мере роста $n$ эта разница будет стремится к нулю.

alex18 в сообщении #1589490 писал(а):

Из множества натуральных чисел выбирают наугад одно число.

В такой постановке задача неопределена, т.к. множество натуральных чисел бесконечно.
Как определите задачу, такой ответ и будет.

[Евгений Машеров]

В такой постановке либо задавший Вам задачу сам не понимает, о чём речь, либо придумал хитрый софизм (и троллит Вас). Для конечных множеств ответ тривиален, следовательно, он рассматривает бесконечное множество, предполагая, что существует "естественный" способ приписать равную для всех чисел вероятность выбрать данное число. Но такого способа нет. Выбор же какого-то иного назначения вероятностей позволяет найти ответ, но для разных способов ответ будет разным.

[Евгений Машеров]

Поскольку приписать бесконечному числу объектов равную вероятность невозможно ("бесконечно малая вероятность" это не значение, а неопределённая фраза, и использование её там, где нужно числовое значение, годится лишь для генерации софизмов, наподобие "задачи о двух конвертах"), то можно попытаться придумать "справедливый способ" в том смысле, что выбрано может быть любое число, пусть и с неравными, но по возможности близкими вероятностями. Для этого, последовательно перебирая числа с начала числового ряда, делаем испытание ("бросаем монету") с вероятностью успеха p, и в случае успеха выбираем это число, иначе переходим к следующему. Начиная с единицы, получим вероятность получить число 2n, равную $(1-p){2n-1}np$ и вероятность чётного числа $\Sigma_{i=1}^\infty (1-p)^{2i-1}ip$, и можно получить, варьируя p, любую большую нуля и меньшую $\frac 1 2$ вероятность чётного. Но ежели начать ряд с нуля, полагая его чётным, так можно и произвольную вероятность больше $\frac 1 2$ и меньшую единицы получить. А так как выбор способа произволен, то произволен и ответ.
Потребуйте с источника задачи строгое описание механизма выбора числа из бесконечной совокупности

(Оффтоп)

или дайте ему по морде, скажете, Машеров передать просил

.

[Евгений Машеров]

Заметил, что в выражении потерялся знак возведения в степень. Читать
$P(2n)=(1-p)^{2n-1}p$
И вероятность получить чётное $|Sigma_{i=1}^\infty (1-p)^{2i-1}p$

[EUgeneUS]

alex18
Попробуем определить вероятность выбрать чётное число из бесконечного множества натуральных чисел, как предел вероятности выбрать четное число в членах некой последовательности конечных множеств, которая даёт в пределе множество натуральных чисел.

1. В качестве последовательности конечных множеств берем последовательность множеств первых $n$ натуральных чисел. И совершенно "естественно", как у Вас, получаем вероятность вытащить четное число из множества натуральных чисел $1/2$.

2. А теперь берем такую последовательность конечных множеств: включаем в множество с номером $n$: $n$ первых четных чисел и $2n$ первых нечетных чисел.
а) легко видеть, что в пределе получил множество натуральных чисел.
б) вероятность выбрать четное число будет $1/3$

Легко видеть, что подобным способом можем "сделать" вероятность вытащить четное число из множества натуральных чисел любой из $(0,1)$

Согласен с уважаемым Евгений Машеров, Вам подсунули софизм.

[Gagarin1968]

Евгений Машеров в сообщении #1589521 писал(а):

Поскольку приписать бесконечному числу объектов равную вероятность невозможно ("бесконечно малая вероятность" это не значение, а неопределённая фраза, и использование её там, где нужно числовое значение, годится лишь для генерации софизмов

Это не то что неопределённая фраза, это в принципе неверная фраза.
Вероятность не может быть пределом, по определению вероятность - число. Я думаю, этим и разрешается софизм.

[vicvolf]

Классическое определение вероятности основано на понятии равновозможности исходов. В качестве вероятности выступает отношение количества исходов, благоприятствующих данному событию, к общему числу равновозможных исходов. В данном определении считается, что количество исходов конечно.
С точки зрения данного определения мы считаем, что любое натуральное число из конечного числа натуральных чисел - $N$ выбирается с равной вероятностью - $1/N$. Количество исходов равно $N$. Если $N$ - нечетное число, то количество благоприятных исходов равно $[N/2]+1$ и вероятность равна $([N/2]+1)/N$. Если $N$- четное число, то количество благоприятных исходов равно $N/2$ и вероятность равна $((N/2)/N=1/2$. Если $N$ взять очень большим, то первая вероятность также будет близка к $1/2$.

[zykov]

vicvolf в сообщении #1589818 писал(а):

С точки зрения данного определения мы считаем, что любое натуральное число из конечного числа натуральных чисел - $N$ выбирается с равной вероятностью - $1/N$.

Это только один из возможных способов.
Можно и по-другому определить. Тогда и ответ будет другой.

[Евгений Машеров]

Gagarin1968 в сообщении #1589816 писал(а):

Вероятность не может быть пределом, по определению вероятность - число.

Но число может быть пределом. Просто в зависимости от определения предельного перехода - разным.

[vicvolf]

zykov в сообщении #1589821 писал(а):

vicvolf в сообщении #1589818 писал(а):

С точки зрения данного определения мы считаем, что любое натуральное число из конечного числа натуральных чисел - $N$ выбирается с равной вероятностью - $1/N$.

Это только один из возможных способов.
Можно и по-другому определить. Тогда и ответ будет другой.

Это классическое определение вероятности. Во всех остальных случаях определений надо доказать, что оно порождает вероятностное пространство. Тогда бы не было прений типа:

Евгений Машеров в сообщении #1589823 писал(а):

Gagarin1968 в сообщении #1589816 писал(а):

Вероятность не может быть пределом, по определению вероятность - число.

Но число может быть пределом. Просто в зависимости от определения предельного перехода - разным.

EUgeneUS в сообщении #1589815 писал(а):

Попробуем определить вероятность выбрать чётное число из бесконечного множества натуральных чисел, как предел вероятности выбрать четное число в членах некой последовательности конечных множеств, которая даёт в пределе множество натуральных чисел.

Извините, что значит попробуем? Пожалуйста, докажите, что при таком определении Вы получаете вероятностное пространство.

[gevaraweb]

(Оффтоп)

Лол, таким вроде простым вопросом с очевидным ответом ТС весь теорвер расшатал

Это не тянет по весу на парадокс Рассела? )

[пианист]

Вот так, например: post1224985.html#p1224985
Искомая вероятность $\frac{1}{2}$

[Niemand]

Нельзя бездумно переносить вещи, определенные для конечных множеств, на бесконечные множества.

Рассмотрим, например, такой "парадокс":

В урне находится счетное множество карточек, пронумерованных от 1 до бесконечности, и 2 игрока вынимаюр по очереди одну карточку. У кого номер больше, тот выиграл.
Какой бы номер ни вынул первый игрок, число карточеки с меньшим номером конечно, а с бОльшим - бесконечно, "поэтому" вероятность вынуть больший номер = 100%.
Второй всегда выигрывает!?

Так нельзя.
Нужно задать функцию распределения вероятности, которой не было в условиях задачи. Тогда все встанет на свои места.

[vicvolf]

пианист в сообщении #1589907 писал(а):

Вот так, например: post1224985.html#p1224985 Искомая вероятность $\frac{1}{2}$

Да, спасибо участникам форума, которые принимали участие в той теме. Поэтому я и пишу, что для определения вероятности при бесконечном числа исходов, нужно знать вероятностное пространство.