Максимум произведения

[Doctor Boom]

vpb в сообщении #1590501 писал(а):

Неподвижной точки чего (какого отображения) ?

Берем $f(x_1,...,x_n)$, заменяем любое $x_i$ на $x_0$, если при любых заменах не изменяется, значит $(x_0,...,x_0)$ неподвижная точка
А вы не могли бы привести пример, где данные рассуждения некорректны, а максимум не в этой точке?

[vpb]

Doctor Boom в сообщении #1590585 писал(а):

Берем $f(x_1,...,x_n)$, заменяем любое $x_i$ на $x_0$, если при любых заменах не изменяется, значит $(x_0,...,x_0)$ неподвижная точка

Вы, кажется, неправильно понимаете, что значит термин "неподвижная точка". Выражение "берем и заменяем" --- это не описание какого-то отображения. Впрочем, тут неподвижные точки вообще ни при чем.

Doctor Boom в сообщении #1590585 писал(а):

А вы не могли бы привести пример, где данные рассуждения некорректны, а максимум не в этой точке?

Такой пример я знаю. Рассмотрим функцию $f(x,y)=x^4+y^4-3x^2y^2$. Легко видеть, что существует такая точка $(x_0,y_0)$, что $f(x_0,y_0)<f(x,y_0)$ при всех $x\ne x_0$, и $f(x_0,y_0)<f(x_0,y)$ при всех $y\ne y_0$. А именно, $(x_0,y_0)=(0,0)$. Причем такая точка ровно одна. Но это не точка глобального и даже локального минимума.

[vpb]

Что-то перемудрил. Просто квадратичную функцию $x^2+y^2-3xy$ взять можно.

[Doctor Boom]

vpb в сообщении #1590630 писал(а):

Легко видеть, что существует такая точка $(x_0,y_0)$, что $f(x_0,y_0)<f(x,y_0)$ при всех $x\ne x_0$, и $f(x_0,y_0)<f(x_0,y)$ при всех $y\ne y_0$.

Должно быть другое условие
Если существует такая точка $(x_0,y_0)$, что $f(x_0,y)<f(x,y)$ при всех $x\ne x_0$, и $f(x,y_0)<f(x,y)$ при всех $y\ne y_0$, то $(x_0,y_0)$ глобальный минимум.

-- 22.04.2023, 12:09 --

Это же и есть рассуждения mihaild. Пусть есть минимум $f(x,y)$ в $(x,y)$, и точка $x,y$ не совпадает с $(x_0,y_0)$, тогда если заменить $x$ на $x_0$ и функция убудет (аналогично с игрек), то $(x_0,y_0)$ глобальный минимум.