Пример из Кострикина про многочлены

[areak]

Здравствуйте! Никак не могу понять одну строчку из примера. В теореме 1 говорится о том, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, а из параграфа 1 используется результат о том, что если два многочлена степени n имеют в различных n+1 точках одинаковые значения, то эти многочлены равны.


Конкректно не понимаю как из выделенной строчки появляется вывод, что $\sum{n-v} + \sum{n-u} \leqslant degf(X)' = n - 1$:


Возникает такое ощущение, что в левой части выделенной строчки вместо равенства должно стоять умножение, ибо в правой части записано произведение двух производных $f(X)'$ и $(f(X)-1)'$. Но если это так, то получается совсем не тот результат:

$$(n - v) + (n - u) \leqslant deg(f(X)' \cdot (f(X)-1)') = 2n-2 \Rightarrow 2n - v - u \leqslant 2n-2 \Rightarrow v+u \geqslant 2$$

В теореме 5 из параграфа 1 говорится о том, что если многочлен $f(X)$ имеет кратный корень степени $k$, то этот кратный корень является $k-1$ кратным корнем производной $f(X)'$.

[mathematician123]

areak в сообщении #1589037 писал(а):

Возникает такое ощущение, что в левой части выделенной строчки вместо равенства должно стоять умножение

Возможно, имелось ввиду

$$f(X)' = (f(X) - 1)' = \prod\limits_{i = 1}^{\nu}(X - c_i)^{s_i - 1}h_1(X) = \prod\limits_{j = 1}^{\mu}(X - d_j)^{t_j-1}h_2(X)$$

Отсюда и взаимной простоты $f(X) $ и $f(X) - 1$ как раз следует неравенство $(n - \nu) + (n - \mu) \le n-1$.

-- 09.04.2023, 22:14 --

Хотя у Кострикина тоже верно. Просто у него не написано явно, что из делимости $f(X)'$ на $\prod\limits_{i = 1}^{\nu}(X - c_i)^{s_i - 1}$ и на $\prod\limits_{j = 1}^{\mu}(X - d_j)^{t_j - 1}$ следует делимость $f(X) $ на произведение $\prod\limits_{i = 1}^{\nu}(X - c_i)^{s_i - 1}\prod\limits_{j = 1}^{\mu}(X - d_j)^{t_j - 1}$

[areak]

mathematician123, понял! Огромное Вам спасибо за помощь и уделённое время!