Непонятный момент в док-ве замкн подмн комп. пр-ва компактно

[Kuga]

В книге Колмогорова и Фомина приводится теорема (гл.2, параграф 6.1)

Цитата:

Теорема 3. Замкнутое подмножество компактного пространства компактно.

Доказательство я прочитал и вроде разобралcя. Но там доказывается через центрированную систему замкнутых множеств. Поэтому я попробовал найти в сети доказательства из первых принципов. Одно такое доказательство можно найти по ссылке

https://proofwiki.org/wiki/Closed_Subsp ... is_Compact

Когда пытался разобраться возник непонятный момент.

Пусть $T$ - компактное пространство.

$C$ - замкнутое подмножество $T$.

$\mathcal{U}$ - открытое покрытие $C$.

Ясно, что $T\smallsetminus C$ открыто в $T$.

Добавим $T\smallsetminus C$ к $\mathcal{U}$, видим, что $\mathcal{U}\cup (T\smallsetminus C)$ - открытое покрытие $T$.

Мне кажется, последнее утверждение не правильно. Можно например взять $T=[0,4]$, $C=[1,3]$. Так как $\mathcal{U}_1=[1,2)$ открыто в $C$, то можно взять $\mathcal{U}_1=[1,2)$ в качестве какого-то элемента открытого покрытия $\mathcal{U}$ множества $C$. Но в $T$ множество $\mathcal{U}_1=[1,2)$ уже не будет ни открытым, ни замкнутым. Поэтому $\mathcal{U}\cup (T\smallsetminus C)$ не будет открытым покрытием $T$.

Мне кажется, они наверно хотели сказать, что если $\mathcal{U}'$ - открытое покрытие $T$, которое индуцирует открытое покрытие $\mathcal{U}$ в $C$, то $\mathcal{U}'\cup (T\smallsetminus C)$ будет открытым покрытием $T$. Это так?

[ElfDante]

Kuga в сообщении #1588789 писал(а):

Так как$\mathcal{U}_1=[1,2)$ открыто в $C$,

Здравствуйте. Тут имеется в виду, что покрытие открыто в исходном пространстве. $U_1 $открыто в $С$, а они хотят, чтобы оно было открыто в $Т$. Понятно, что это не меняет дела - Вы всегда можете перейти к индуцированной топологии в $C$.

[мат-ламер]

Kuga в сообщении #1588789 писал(а):

Но там доказывается через центрированную систему замкнутых множеств.

Если теорема про замкнутое подмножество, то доказывать через систему замкнутых подмножеств вполне логично.