Двумерная плотность распределения

[Insearch]

Как по заданной функции двумерной плотности распределения $f(x,y) определить вероятность того, что $Y\le3X, при известных ограничениях: $X \in [0,1]; Y \in [1,2].

Есть предположение, что задача сводится к такому интегралу:
$P(x_1 \le X < x_2, y_1 \le Y < y_2)=\int_{x_1}^{x_2}\int_{y_1}^{y_2}f(x,y)dxdy

Если это так, то вопрос заключается в том как перейти от ограничения $Y\le3X к $x_1 \le X < x_2, y_1 \le Y < y_2 для указанного интервала.

Заранее спасибо!

[PAV]

Знак "меньше или равно" набирается командой \le: $Y\le 3X$

По сути же Вам действительно нужно взять область, в которой выполняются все имеющиеся ограничения на переменные, и проинтегрировать плотность по этой области. Только область будет не прямоугольная, а потому пределы интегрирования не константы. Пределы внутреннего интеграла будут зависеть от переменной интегрирования внешнего.

Добавлено спустя 28 минут 57 секунд:

Возьмите прямоугольник, заданный условиями. Добавьте к нему прямую, задаваемую равенством $Y=3X$. Заштрихуйте требуемую область. И подумайте, как по ней интегрировать.

[Insearch]

PAV писал(а):

Знак "меньше или равно" набирается командой \le: $Y\le 3X$

Поправил.

По поводу пределов. На мой взгляд целесообразно разбить область интегрирования на 2 подобласти: треугольник (с переменными пределами) и прямоугольник:

$P=\int_{1/3}^{2/3}\int_{1}^{3x}f(x,y)dxdy + \int_{2/3}^{1}\int_{1}^{2}f(x,y)dxdy

Верно ли это?

[PAV]

Правильно. Только маленькое замечание по поводу записи: может возникнуть вопрос, какой интеграл к какой переменной относится. Принято писать так:

$$ \int_{1/3}^{2/3}dx\int_{1}^{3x}f(x,y)dy $$

[Insearch]

[quote="PAV"][/quote]
Спасибо Вам огромное!