Собственный вектор и подпространство меньшей размрности

[RaychSeldon]

Здравствуйте.

Мне предложил доказать утверждение:
Если линейное преобразование n-мерного линейного пространства имеет собственный вектор, то для него существует и (n-1)-мерное инвариантное пространство.

Есть предположение, что тему до конца я не понял, однако кое-какие мысли касательно доказательства имеются.

Разложим исходное линейное пространство L в сумму двух подпространств: L1 - подпространство, состоящее из собственного вектора, L2 выберем так, чтобы сумма L1 и L2 была прямой. Пространство L инвариантно, L1 - тоже инвариантно. Т.к сумма подпространств L1 и L2 прямая, то она имеет размерность (n-1) и тоже является инвариантом.

Помогите, пожалуйста, направить мои мысли в "нужное русло".

[svv]

Первое — запишите все формулы (вплоть до отдельных обозначений переменных в тексте) с помощью языка $\TeX$. В Вашем случае это просто, например, код $L_1$ даёт $L_1$.
Если Вы не успеете сделать это за час с момента опубликования сообщения, тема окажется в Карантине до исправления Вашего сообщения.

[мат-ламер]

RaychSeldon в сообщении #1587758 писал(а):

Т.к сумма подпространств L1 и L2 прямая, то она ... тоже является инвариантом.

А этот момент поподробнее, пожалуйста! И кто "она" ?

[RaychSeldon]

Она - прямая сумма.

Вероятно моя ошибка в том, что подпространства прямой суммы не всегда являются инвариантными, а только в частных случаях.

[мат-ламер]

RaychSeldon в сообщении #1587769 писал(а):

Вероятно моя ошибка в том, что подпространства прямой суммы не всегда являются инвариантными, а только в частных случаях.

Вы правы.

RaychSeldon в сообщении #1587758 писал(а):

Мне предложил доказать утверждение:

А в каких интонациях? В утвердительных? Или может просто предложили проверить справедливость этого утверждения? Предлагаю провести эксперимент с преобразованием, матрица которого имеет размерность два на два, причём в левом нижнем углу у неё нуль, а остальные элементы единицы.

[Ende]

svv в сообщении #1587759 писал(а):

Первое — запишите все формулы (вплоть до отдельных обозначений переменных в тексте) с помощью языка $\TeX$. В Вашем случае это просто, например, код $L_1$ даёт $L_1$.

RaychSeldon Это обязательное требование на этом форуме. В этот раз тему в карантин не понесу, а в следующий - обязательно.

[artempalkin]

RaychSeldon в сообщении #1587758 писал(а):

она имеет размерность (n-1)

Да

RaychSeldon в сообщении #1587758 писал(а):

тоже является инвариантом.

Нет, откуда это следует? Кстати, ради интереса можете поискать контрпримеры.

RaychSeldon в сообщении #1587758 писал(а):

Помогите, пожалуйста, направить мои мысли в "нужное русло".

Пусть $\lambda$ - собственное значение оператора $A$ (это ваш заданный оператор). Расскажите о ядре и образе оператора $A-\lambda I$

Да, и еще, сможете доказать утверждение "Для произвольного оператора его образ является его инвариантным подпространством"

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1587777 писал(а):

А в каких интонациях? В утвердительных? Или может просто предложили проверить справедливость этого утверждения?

Тут мне показалось, что утверждение неверно. Просьба на это моё предложение внимание не обращать. Из того, что задача неверно решена в первом посту ещё ничего не следует.

-- Сб апр 01, 2023 18:46:37 --

мат-ламер в сообщении #1587777 писал(а):

Предлагаю провести эксперимент с преобразованием, матрица которого имеет размерность два на два, причём в левом нижнем углу у неё нуль, а остальные элементы единицы.

Это матрица - жорданова клетка размерности два. После чего разберитесь с жордановой клеткой размерности три. После чего рассмотрите случай двух жордановых клеток ... Далее рассмотрите общий случай. Но пока предполагается, что у нас алгебраическое замкнутое поле - допустим поле комплексных чисел. Если с ним разберётесь, то можно рассмотреть эту задачу над полем действительных чисел.

[vpb]

(Оффтоп)

Советов никаких давать не буду, бо задача простая, явно и без меня решат отлично благородно. Замечу только в скобках, что такое ощущение, что с нами этот самый ChatGPT разговаривает. Похоже на то, во всяком разе.

[мат-ламер]

vpb

(Оффтоп)

vpb в сообщении #1587840 писал(а):

Замечу только в скобках, что такое ощущение, что с нами этот самый ChatGPT разговаривает.

Не думаю.

vpb в сообщении #1587840 писал(а):

Советов никаких давать не буду, бо задача простая

Задача действительно простая. Но я в начале про себя в уме не так её решил. Но это было мгновенное заблуждение. Если топик-стартер ещё заинтересован в помощи, то я думаю с помощью форума он эту задачу добьёт.

[artempalkin]

мат-ламер в сообщении #1587831 писал(а):

Это матрица - жорданова клетка размерности два. После чего разберитесь с жордановой клеткой размерности три. После чего рассмотрите случай двух жордановых клеток ... Далее рассмотрите общий случай. Но пока предполагается, что у нас алгебраическое замкнутое поле - допустим поле комплексных чисел. Если с ним разберётесь, то можно рассмотреть эту задачу над полем действительных чисел.

Извиняюсь, а зачем вы предлагаете все это рассматривать?

[мат-ламер]

artempalkin

(Оффтоп)

artempalkin в сообщении #1587857 писал(а):

Извиняюсь, а зачем вы предлагаете все это рассматривать?

Я вам обязательно отвечу. Но чуть позже.

[Mirage_Pick]

ТС, задачка для вас. При $n=4$ отражаем относительно двумерной плоскости. Найти трехмерную инвариантную плоскость в этом случае.

[мат-ламер]

artempalkin в сообщении #1587857 писал(а):

Извиняюсь, а зачем вы предлагаете все это рассматривать?

Обещал отписаться. Дело в том, что мои предложения относятся не совсем точно к решению предложенной задачи, а к попытке помощи топик-стартеру осознать, а что там вполне может происходить с инвариантными пространствами при линейных отображениях. Мне показалось, что он плавает в этих вопросах. Я исходил из того, что главное не решить конкретную задачу (чтобы преподаватель отстал), а понять общий смысл происходящего. Хотя тут для кого как, что считать главным. То есть хотелось бы, чтобы решение задачи возникало у топик-стартера естественно само. А что толку, если он прочтёт готовое решение? Он либо воспримет его как некоторый фокус, непонятно откуда взявшийся, либо вовсе не поймёт. Конкретно в данном случае интересно было уяснить, что оператор, соответствующий жордановой клетке, имеет инвариантные пространства всех размерностей (не превышающих размерности клетки)(хотя достаточно, что есть пространство с размерностью на единицу меньше размерности клетки), что сразу решает задачу. В принципе, эта мысль немного схожа с вашим решением, поскольку ядро и образ оператора $A-\lambda I$ используется при изложении теории ЖНФ.

[artempalkin]

мат-ламер
Ага, понимаю вас. Ну в целом вполне можно и так. Правда, доказываемая теорема - это маленький шаг к еще далекой цели ЖНФ, но, если человек "врубится", почему нет.

С этой точки зрения можно было бы привести пример просто треугольной матрицы, т.к. у оператора, который она в каком-то базисе задает, будет более-менее очевидно набор из взаимно вложенных пространств всех размерностей.