Критерии "сопряженности" пространства

[artempalkin]

Известно, что $l_p^*=l_q$, например, а $c_0^{**}=l_1^*=l_{\infty}$. Тогда возникает вопрос: а $c_0$ является ли сопряженным к какому-либо пространству? Т.к. оно полно, то почему бы и нет...
И вообще, нет ли каких-то критериев "сопряженности"?

[mihaild]

Тут могут быть полезны
1. Теорема Алаоглу: если $c_0$ является сопряженным к чему-то, то (обычный) единичный шар в $c_0$ компактен в *-слабой топологии.
2. Теорема Крейна-Мильмана: выпуклый компакт в локально выпуклом пространстве есть замыкание выпуклой оболочки своих крайних точек (точек, не являющихся внутренней точкой отрезков, целиком принадлежащих компакту).
Это штуки сложные, над ними можно подумать, но можно и сразу посмотреть доказательство.
Из этого получается необходимое условие существование преддвойственного пространства. Правда вряд ли критерий (но тут я уже не знаю).

Конкретно для $c_0$ можно обойтись без Крейна-Мильмана, воспользовавшись тем, что если $c_0 = X^*$, то $X$ изометрично вкладывается в $l_1$, дальше можно выбрать последовательность $t_i$ почти непересекающихся векторов единичной нормы (таких, что $\|t_i\| = 1$, а сумма модулей координат кроме координат с номерами от $a_i$ до $a_{i + 1}$ меньше $\frac{1}{4}$). Дальше построить последовательность $a_i$ единичных векторов из $c_0$, таких что $a_i(t_j) \geq \frac{1}{2}$ при $j \leq i$. Ну и дальше эта последовательность должна *-слабо сходиться к какому-то вектору $a$ такому что $a(t_j) \geq \frac{1}{2}$ для всех $j$, но таких векторов в $c_0$ не завезли (только в $l_\infty$).

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1587707 писал(а):

1. Теорема Алаоглу
: если $c_0$ является сопряженным к чему-то, то (обычный) единичный шар в $c_0$ компактен в *-слабой топологии.

Вот это теорема более-менее понятна (по крайней мере по формулировке), однако почитав про историю ее доказательства, я все же не буду предпринимать попыток доказать ее самому :) поищу доказательство

В вашем доказательстве, я так понял, вы на эту теорему опираетесь. Спасибо большое! Попытаюсь разобраться.

Кстати, я недавно осознал, что $c_{00}^*=l_1$ тоже. Но пополнение $c_{00}*$, я так понимаю, совпадает с $c_0$. Вот я и думаю, верно ли будет, что для заданного "сопряженного" пространства исходное будет заданно единственным образом (с точностью, условно говоря, до всюду плотности)...

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1587792 писал(а):

В вашем доказательстве, я так понял, вы на эту теорему опираетесь.

Да, доказательств без её использования мне неизвестно.

artempalkin в сообщении #1587792 писал(а):

Вот я и думаю, верно ли будет, что для заданного "сопряженного" пространства исходное будет заданно единственным образом (с точностью, условно говоря, до всюду плотности)

У нормированного пространства и его пополнения сопряженные совпадают, это несложно доказывается (и на этом основано одно из определений пополнения - взяли пространство, взяли второе сопряженное, канонически вложили, замкнули образ во втором сопряженном, получили пополнение). Так что вопрос можно ставить для банаховых пространств: верно ли, что для банаховых $X$ и $Y$, если $X^* \cong Y^*$, то $X \cong Y$. Ответ - неверно. Например $c^* \cong c_0^* \cong l_1$, но $c^* \not \cong c_0^*$ ($c$ - пространство сходящихся последовательностей с супремум-нормой). Что у них совпадают сопряженные, доказать легко, что $c^* \not \cong c_0^*$ чуть сложнее, но если воспользоваться понятием крайней точки (и что крайние точки сохраняются при изометрии), то тоже не слишком сложно.
(вообще, у $l_1$ очень много неизоморфных преддвойственных пространств, я даже не знаю, существует ли их полная классификация, но это уже сильно сложнее, чем просто пример выше)

[artempalkin]

artempalkin в сообщении #1587792 писал(а):

Но пополнение $c_{00}*$, я так понимаю, совпадает с $c_0$.

mihaild в сообщении #1587796 писал(а):

но $c^* \not \cong c_0^*$

Я так понимаю, мы оба описались и подразумевается в этих случаях без $*$.

mihaild в сообщении #1587796 писал(а):

Что у них совпадают сопряженные, доказать легко, что $c^* \not \cong c_0^*$ чуть сложнее

Навело ваше сообщение меня на некоторые мысли... Во-первых, я осознал, что $c$ - сепарабельно. Ну то есть если бы оно было несепарабельно, наверное, у вас бы не возникало вопросов о его изоморфизме с $c_0$. В том плане, что до сегодняшнего дня я как-то assumed, что оно несепарабельно (как $l_{\infty}$). Но на самом деле сейчас я даже понимаю, как доказать сепарабельность: возьмем всюду плотное счетное множество в $c_0$ и прибавим к каждой последовательности заданное рациональное число. Тогда получим счетное множество последовательностей, сходящихся к этому числу, и сколь угодно близко приближающих любую последовательность, сходящуюся к этому числу. Далее поступим так для всех рациональных чисел, и вуаля, правильно я размышляю?

Во-вторых, опять же, я впервые осознаю, что $c^*=l_1$ (кстати, из этого в свою очередь следует сепарабельность $c$). Да, на самом деле, тут и доказывать особо нечего, доказывается так же, как и для $c_0$ (и даже со ссылкой на то доказательство: любой элемент $l_1$ "является" (в смысле изоморфизма) элементом $c^*$, а другие не могут быть, потому что они не будут работать уже на $c_0$, а $c_0\subset c$).

В-третьих, над ситуацией, что

mihaild в сообщении #1587796 писал(а):

$c^* \not \cong c_0^*$

нужно поразмыслить... как-то сильно они непохоже, мне кажется, должно быть какое-то тривиальное доказательство...

-- 01.04.2023, 14:24 --

Кстати, а не следует ли их "не-изоморфизм" из того, что они по-разному вкладываются в $l_{\infty}$, которое их двойное сопряженное? впрочем, совсем не очевидно, что следует...

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1587800 писал(а):

Но на самом деле сейчас я даже понимаю, как доказать сепарабельность: возьмем всюду плотное счетное множество в $c_0$ и прибавим к каждой последовательности заданное рациональное число.

На самом деле даже проще: как топологическое пространство, $c$ изоморфно прямой сумме $\mathbb R$ и $c_0$ (т.к. любая последовательность есть сумма константной и сходящейся к нулю).

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1587796 писал(а):

$c \not \cong c_0^$

По поводу вот этого факта, придумал элементарное доказательство вроде.

Рассмотрим $y=(1,1,1,1,...)\in c$. Несложно доказать, что если $\forall z\in c$, то либо $||z+y||=||z||+1$, либо $||z-y||=||z||+1$. В $c_0$ же элемента, обладающего таким свойством, нет.

Пусть $x\in c_0$ обладает таким свойством в своем пространстве. Тогда найдем такой момент, когда $\forall n\geqslant N \ \ |x_n|<1/2$ (речь идет о элементах $x$ как последовательности). Тогда для элемента $p=(0,0,0,...,0,||x||,-||x||,0,0,...)\in c_0$ (ненулевые координаты стоят на местах $N$ и $N+1$) будет верно, что $||p\pm x||<||p||+1/2$. Соответственно, изоморфизма быть не может. Похоже на правду?

[mihaild]

Да, так можно.
Стандартный способ (в общем-то похожий технически, но требующий только знания определений, не требующий придумывания идей) - сказать, что если $y = \alpha x + (1 - \alpha) z$, где $0 < |\alpha| < 1$, $\|x\| = \|y\| = 1$, то $x = y = z$, а в $c_0$ таких нет. Доказывается аналогично Вашему рассуждению.

[adfg]

artempalkin писал(а):

Во-вторых, опять же, я впервые осознаю, что $c^*=l_1$ (кстати, из этого в свою очередь следует сепарабельность $c$). Да, на самом деле, тут и доказывать особо нечего, доказывается так же, как и для $c_0$ (и даже со ссылкой на то доказательство: любой элемент $l_1$ "является" (в смысле изоморфизма) элементом $c^*$, а другие не могут быть, потому что они не будут работать уже на $c_0$, а $c_0\subset c$).

Не могли бы привести пример элемента, который каждой сходящейся последовательности ставит в соответствие её предел? Что-то я такого элемента в $l_1$ не смог подобрать

[mihaild]

adfg в сообщении #1588139 писал(а):

Не могли бы привести пример элемента, который каждой сходящейся последовательности ставит в соответствие её предел?

А, Вы хотели чтобы $l_1 \cong c^*$ по правилу $f(x) = \sum f_i x_i$? Так не получится, это будет только подпространство $c^*$. Нужно строить изоморфизм иначе.

[adfg]

mihaild писал(а):

Да, действительно, если из последовательности вычесть ее предел, то сразу получится элемент из $c_0$, то есть пространство функционалов увеличится всего лишь на одну размерность.... Ну ладно, вопрос снят

[mihaild]

adfg в сообщении #1588158 писал(а):

Да, действительно, если из последовательности вычесть ее предел, то сразу получится элемент из $c_0$,

Только тут нужно аккуратно, потому что это вычитание может поменять норму.