Интеграл от полинома, заданного параметрически

[@.@]

Есть ли способ найти первообразную функции $x^m(1-x)^n$, где $m$ и $n$ - натуральные параметры, в удобоваримом виде, а не раскрывая скобки по формулам бинома Ньютона?

[EUgeneUS]

Это задача предложена в качестве олимпиадной (то есть Вы знаете решение), или Вам нужна помощь в решении?
В первом случае - ошибка с разделом форума.
Во втором случае нужны собственные попытки решения.

[Markiyan Hirnyk]

Как Вам ответ с Математикой 13.2

Integrate[x^m*(1 - x)^n, x,  Assumptions -> {m, n} \[Element] PositiveIntegers]
(x^(1 + m) Hypergeometric2F1[1 + m, -n, 2 + m, x])/(1 + m)
FullSimplify[%, Assumptions -> {m, n} \[Element] PositiveIntegers]
Beta[x,1+m,1+n]

в аналитическом виде через неполную бета-функцию?

[@.@]

EUgeneUS в сообщении #1587380 писал(а):

Это задача

Для меня это не учебная задача, а вспомогательный вопрос, который возник при самостоятельном исследовании на совсем другую тему. Изначальный вопрос настолько далёк от поднятого, что лишь помешает сконцентрироваться на последнем.

Я даже не формулирую вопрос "как", так как сначала хотелось бы понять, есть ли какой-то способ (что собственно и запрошено в стартовом вопросе). Что-то подобное, помнится, встречалось, но вот конкретно по такой постановке уверенности нет.

[EUgeneUS]

@.@
Можно использовать последовательное интегрирование по частям. Но количество слагаемых будет ровно таким же, как и при раскрытии бинома.

[@.@]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1587383 писал(а):

Как Вам ответ с Математикой 13.2

Integrate[x^m*(1 - x)^n, x,  Assumptions -> {m, n} \[Element] PositiveIntegers]
(x^(1 + m) Hypergeometric2F1[1 + m, -n, 2 + m, x])/(1 + m)
FullSimplify[%, Assumptions -> {m, n} \[Element] PositiveIntegers]
Beta[x,1+m,1+n]

в аналитическом виде через неполную бета-функцию?

Не имею опыта с этим инструментом, но похоже, насколько мне удалось понять, что это ещё менее удобоваримо, чем если расписывать по формуле бинома Ньютона. Возможно, поставленный мной вопрос вообще имеет отрицательный ответ, но таковой может уверенно дать лишь человек, имеющий большой опыт в подобных вопросах.

[EUgeneUS]

@.@ в сообщении #1587389 писал(а):

Не имею опыта с этим инструментом,

ВольфрамАльфа даёт такой же ответ.

UPD, что неудивительно, ибо этот интеграл и есть определение неполной бета-функции (с точностью до $-1$ в показателях степеней).

[мат-ламер]

@.@ в сообщении #1587385 писал(а):

Для меня это не учебная задача, а вспомогательный вопрос, который возник при самостоятельном исследовании на совсем другую тему.

Так может там определённый интеграл от $0$ до $1$ ?

[@.@]

Было полезно из этого ответа узнать о неполной бета-функции, которая ранее не попадала в область моего зрения. Она тоже, подобно просто бета-функции, на натуральных аргументах сводится к факториалам? Или в случае с произвольных верхним пределом интегрирования таких красивых свойств уже не получается?

-- 29.03.2023, 18:01 --

EUgeneUS в сообщении #1587390 писал(а):

UPD, что неудивительно, ибо этот интеграл и есть определение неполной бета-функции (с точностью до $-1$ в показателях степеней).

Но у меня всё-таки не вещественные переменные, а натуральные константы, поэтому имеется слабый шанс поймать что-то красивое, типа факториалов.

-- 29.03.2023, 18:03 --

мат-ламер в сообщении #1587391 писал(а):

Так может там определённый интеграл от $0$ до $1$ ?

На самом деле теперь понимаю, что надо было не уходить от определённого, но он у меня не от 0 до 1, а на подинтервале этого интервала.

-- 29.03.2023, 18:16 --

Беглое знакомство со свойствами неполной бета-функции наводит на мысль, что вряд ли можно добиться простой формулы. Что ж, отрицательный результат тоже результат, всем спасибо.