Математический анализ. Свойства прообраза

[WinterPrimat]

Имеем:
$f:X\to Y$
$A\subset Y$
$B\subset Y$
Указано свойство:
$f^{-1}\left(A\cap{B}\right)=f^{-1}\left(A\right)\cap{f^{-1}\left(B\right)}$,
то есть прообраз пересечения множеств равен пересечению прообразов.
А что, невозможно, скажем, такое, что:
$m\in\left({A\cap{B}}\right)$, для которого, скажем,
$f^{-1}\left(m\right)=\left\{m_1,m_2\right\}$, где $m_1\in\left(f^{-1}\left(A\right)\setminus{f^{-1}\left(B\right)}\right)$ и $m_2\in\left(f^{-1}\left(B\right)\setminus{f^{-1}\left(A\right)}\right)$?
Или что-то в таком же роде?
Спасибо

[lel0lel]

Разве не указано, что отображение биективно? Существование обратного намекает на это.

[mihaild]

WinterPrimat в сообщении #1587206 писал(а):

$m\in\left({A\cap{B}}\right)$, для которого, скажем,
$f^{-1}\left(m\right)=\left\{m_1,m_2\right\}$, где $m_1\in\left(f^{-1}\left(A\right)\setminus{f^{-1}\left(B\right)}\right)$ и $m_2\in\left(f^{-1}\left(B\right)\setminus{f^{-1}\left(A\right)}\right)$?

Нет. Пусть $m \in A \cap B$ и $f(m_1) = m$. Будет ли выполнено $f(m_1) \in B$? Возможно ли, что $m_1 \notin f^{-1}(B)$? А что $m_1 \in \left(f^{-1}\left(A\right)\setminus{f^{-1}\left(B\right)}\right)$?

lel0lel в сообщении #1587209 писал(а):

Существование обратного намекает на это.

Довольно часто $f^{-1}(x)$ означает полный прообраз $x$ (который при этом может быть как элементом, так и подмножеством кодомена).

[Anton_Peplov]

lel0lel в сообщении #1587209 писал(а):

Разве не указано, что отображение биективно?

Нет.

lel0lel в сообщении #1587209 писал(а):

Существование обратного намекает на это.

В общем случае никакого обратного отображения нет. $f^{-1}(A)$ - это обозначение прообраза множества $A$, т.е. множества всех элементов, образы которых лежат в $A$, и только их. Например, для $f (x) = x^2$ верно $f^{-1}(\{1\}) = \{-1, 1\}$.

[lel0lel]

Anton_Peplov
mihaild
Хорошо, спасибо. Просто это моя привычка -- считать, что значок $f^{-1}$ применяем только для биекций.

[Anton_Peplov]

WinterPrimat в сообщении #1587206 писал(а):

Указано свойство

Докажите его самостоятельно. Это делается в три строки и не требует никаких знаний, кроме основных операций над множествами.
Напомню, что доказать $A = B$ значит доказать $A \subset B$ и $B \subset A$. Рассмотрим точку $x$, принадлежащую прообразу пересечения. Тогда...

[WinterPrimat]

До меня дошло. Действительно, легче начать все по новой, чем менять что-то устоявшееся и неправильное. Построил неправильную ассоциацию - и не заметил логическую ошибку.
Следовало учесть, что если $A'=f^{-1}\left(f\left(A\right)\right)$, то $A\subset{A'}$.
Ну и дальше пошел всякий бред