Сигнатура квадратичной формы

[Avengo2000]

В пространстве многочленов с действительными коэффициентами степени не выше n задана квадратичная форма $\mathrm{Q(f) = f(1) \cdot f(2)}$. Найдите ее сигнатуру (число единиц и минус единиц в нормальном виде).

Пробовал находить матрицу квадратичной формы. Получил, что $\mathrm{a_{ij} = \frac{2^i + 2^j}{2}}$, если i$\ne$j и 2 в степени n если элемент стоит на диагонали. Матрица симметричная, отсюда существует базис из n собственных векторов, в котором матрица имеет диагональный вид с собственными значениями на диагонали. То есть p - количество +1 и q - количество -1 равно n. И при этом, можно точно сказать, что квадратичная форма не является ни положительно опеределенной, ни отрицательно определенной, так как $\forall$n существуют многочлены степени n, которые имеют разные знаки в точках $\mathrm{f(1)}$ и $\mathrm{f(2)}$. Точно также всегда существуют многочлены принимающие значения одинакового знака в этих точках. Отсюда следует, что в сигнатуре содержатся как +1 так и -1, но вот количество подсчитать так и не удается. Помогите пожалуйста!

[Null]

У меня получилось что почти все коэффициенты в нормальном виде - нули.

[мат-ламер]

Для начала запишите, как выглядит эта квадратичная форма в базисе $1,x,...,x^n$ . Далее попробуйте привести эту форму к каноническому виду.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать, создаются в этом разделе.

-- 28.03.2023, 14:47 --

Avengo2000
Даже отдельные обозначения должны быть набраны как формулы. Не "базис из n собственных векторов", а "базис из $n$ собственных векторов", и т.д. На первый раз не понесу тему в карантин, в следующий раз - обязательно.

[Avengo2000]

Null в сообщении #1587186 писал(а):

У меня получилось что почти все коэффициенты в нормальном виде - нули.

Сейчас посчитал ручками матрицу и у меня тоже получается, что все строки кроме первой и второй обращаются в нуль. Почему такое может происходить с симметричными матрицами?

[Null]

Avengo2000 в сообщении #1587418 писал(а):

Почему такое может происходить с симметричными матрицами?

Странный вопрос.Так устроена математика. Например матрица из нулей - симметрическая.
Подсказка: $L_1(f)=\frac{f(1)+f(2)}{2}$ - Линейная функция в нашем пространстве.

[svv]

Можно в качестве базисных взять полиномы $\varphi_j(x), j=0,1...n$, где $\varphi_j$ равен $0$ при всех $x\in\{0,1...n\}$, кроме $x=j$, где он равен $1$.
Ясно, что если $f$ — полином степени $\leqslant n$, то $f(x)=\sum\limits_{j=0}^n f(j) \varphi_j(x)$, то есть в этом базисе $f(j), j=0,1...n$ — координаты полинома. А какой в этом базисе будет матрица квадратичной формы $Q$?