нужна помощь с интегралом

[DTF]

Добрый день
Как посчитать вот такие интегралы? ($a > 1$)

$\int\frac{dx}{\sqrt{a - \cos x}}$ и $\int\frac{dx}{\sqrt{a - \cos x}^3}$

Мне казалось что они табличные, но нигде не могу найти как они считаются

[Combat Zone]

Если вас эллиптические функции устраивают, то может, и табличные. Только поискать.
А если нет - то нет. Я сомневаюсь, что дело исправит, даже если интеграл определенный. Он определенный?

[DTF]

Да, интересует $\int\limits_{0}^{2\pi}$

[Markiyan Hirnyk]

Команды Математики 13.2 отвечают:

Integrate[1/Sqrt[a - Cos[x]], {x, 0, 2*Pi}, Assumptions -> a > 1]

$\frac{2 \left(\sqrt{a-1} K\left(\frac{2}{a+1}\right)+\sqrt{a+1} K\left(-\frac{2}{a-1}\right)\right)}{\sqrt{a^2-1}}$

Integrate[1/(a - Cos[x])^(1/3), {x, 0, 2*Pi}, Assumptions -> a > 1]

$\frac{\pi \left(\sqrt[3]{a-1} \, _2F_1\left(\frac{1}{3},\frac{1}{2};1;\frac{2}{a+1}\right)+\sqrt[3]{a+1} \, _2F_1\left(\frac{1}{3},\frac{1}{2};1;-\frac{2}{a-1}\right)\right)}{\sqrt[3]{a^2-1}}$
См. обозначения здесь и здесь.

[GAA]

Если от 0 до $2\pi$, то сведение к эллиптическому слегка упрощается. Делая линейную замену $y = x-\pi$, учитывая четность и используя формулу синуса половинного угла в случае первого интеграла, получим
$\int\limits_{-\pi}^{\pi} \frac {dy} {\sqrt{a+b - b(1-\cos y) }} = \frac{4}{\sqrt {a+b}} \int\limits_0^{\pi/2} \frac {d \varphi} {\sqrt {1+k^2\sin^2 \varphi}} = \frac{4}{\sqrt {a+b}} K(k)$, $k^2 = \frac{2b} {a+b}$,
Здесь $K$ — полный эллиптический интеграл второго рода в форме Лежандра.

По второму интегралу см., например, в справочнике Прудников А.П, Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды, Т1, 2002
в разделе 1.5.20 №18.
(Может и в других изданиях есть. Просто под рукой это издание. Поэтому указаны не страницы, а подраздел и номер интеграла в этом подразделе.)

-- Sun 26.03.2023 17:40:47 --

DTF в сообщении #1586795 писал(а):

но нигде не могу найти как они считаются

Например есть во втором томе книги
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления

[Markiyan Hirnyk]

GAA В вопросе параметр $b$ отсутствует.

[GAA]

GAA в сообщении #1586860 писал(а):

второго рода

опечатка. Должно быт, конечно, первого рода.

Markiyan Hirnyk в сообщении #1586893 писал(а):

GAA В вопросе параметр $b$ отсутствует.

В данном случае требуется, чтобы $a>b$. Частный случай $b=1$ ничего не упрощает и в начальном сообщении указано, что $a>1$. Вот, если бы $a=b$, в частности $a=1$, $b=1$, то интеграл брался бы в элементарных функциях. (Ну а в приведенном мною выражении надо просто подставить $b=1$.)

По второму интегралу. Куб правее квадратного корня я интерпретировал как степень $3/2$, т.е.
$\int \frac {dx} {\left(\sqrt{a-b\cos x} \right)^3} $.
В указанном разделе указанной выше книги есть № 20. Это как раз указанный интеграл. Но и к указанному выше № 18 можно легко свести.

[Markiyan Hirnyk]

Integrate[1/Sqrt[a - Cos[x]]^3, {x, 0, 2*Pi}, Assumptions -> a > 1]

$\frac{2 E\left(-\frac{2}{a-1}\right)}{\sqrt{a-1} (a+1)}+\frac{2 E\left(\frac{2}{a+1}\right)}{(a-1) \sqrt{a+1}}$

[GAA]

Обычно в книгах по вводным курсам анализа полный эллиптический интеграл второго рода в форме Лежандра определяют так
$E(k) = \int\limits_0^{\pi/2} \sqrt{1-k^2\sin\varphi}\, d\varphi,$
где в начальных курсах считается, что $0<k<1$.
B данном случае
$\int\limits_0^{2\pi} \frac {dx} {\left(\sqrt{a-b\cos x} \right)^3} = \frac 4 {(a-b) \sqrt{a+b}} E\left(\sqrt{\frac {2b}{a+b}}\right)$.
В пакете Mathematica аргумент EllipticE — это $m=k^2$ и он может принимать отрицательные значения. Это соглашение поддерживают не все библиотеки/пакеты. И в данном случае в нём, очевидно, смысла нет. Мы можем использовать один вызов «функции реализующей стандартный эллиптический интеграл второго рода», а не два вызова.

[Markiyan Hirnyk]

Сравним результаты:

Timing[1/Sqrt[-1 + a^2] 2 (Sqrt[1 + a] EllipticK[-(2/(-1 + a))] + 
     Sqrt[-1 + a] EllipticK[2/(1 + a)]) /. a -> 2.]
{0., 4.68568}
NIntegrate[1/Sqrt[a - Cos[x]] /. a -> 2, {x, 0, 2*Pi}]
4.68568