Смысл аксиомы фильтра

[Ludi]

Здравствуйте! Я сейчас начал изучать ТВП по Шеферу, и меня уже ввела в замешательство информация об аксиоматике фильтров:

Фильтром называется множество подмножеств х, удовлетворяющих условию:
1) фильтр - не пустое множество, но пустое множество принадлежит фильтру.
2) пересечение любых двух подмножеств из фильтра принадлежит фильтру.
3) если а1 принадлежит фильтру и а1 является подмножеством а2, то а2 также принадлежит фильтру.

Я не понимаю смысл аксиомы 3, ведь пустое множество является подмножеством любого множества, а значит этой самой аксиоме удовлетворяет любое подмножество х?

[Slav-27]

Ludi в сообщении #1586697 писал(а):

но пустое множество принадлежит фильтру

Где-то ошибка, процитированной фразы в определении не должно быть.

[Ludi]

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0 ... 0%BA%D0%B0)

вот что я в википедии нашел, там в аксиомах записано что пустое множество НЕ принадлежит фильтру, получается, в шефере опечатка? сорри тд за спам)))

-- 25.03.2023, 16:24 --

Slav-27 в сообщении #1586699 писал(а):

Ludi в сообщении #1586697 писал(а):

но пустое множество принадлежит фильтру

Где-то ошибка, процитированной фразы в определении не должно быть.

да, я уже понял))) тупанул

[Ludi]

Знаете, я только начал читать Шефера, а уже запутался опять... типа фрагмент:
В ТВП элемент y принадлежит замыканию окрестности нуля U тогда и только тогда, когда пересечение y-U и U непусто - и приводится без доказательств - я как бэ понимаю, что это так, но также осознаю, что не могу строго всё это доказать.

(типа я понимаю, что идея доказательства: у принадлежит всем пересечениям U+V, где V - окрестности нуля, и ежели отнимать от y U, то этот у попадет в пересечение по тем самым окрестностям, и как-то это даст пересечение с U - но с таким шикарным доказательством мне голову на экзамене откусят).

Так вот, был бы оч благодарен, если бы кто-то мне посоветовал что-то типа Шефера, но поподробнее, что ли...

[Slav-27]

Ludi в сообщении #1586728 писал(а):

В ТВП элемент y принадлежит замыканию окрестности нуля U тогда и только тогда, когда пересечение y-U и U непусто

Это неправильно: $3$ не принадлежит замыканию интервала $(-2,2)$, но $(3-2,3+2)$ пересекается с $(-2,2)$.
Посоветовать ничего не могу, потому что неясно, что именно вы хотите изучить, функциональный анализ очень большой.

[@.@]

Это какой автор настолько спешит заявить, что множество непустое в том же предложении, в котором далее и так говорится о том, что в этом множестве есть элемент?

Обновлено. Вопрос убран под мелкий шрифт, так как из обсуждения стало ясно, что топикстартер не отредактировал ранее обнаруженную ошибку (хотя бы путём выделения обновления стартового поста, чтобы не потерялась нить беседы). Это так на этом форуме принято? Второй раз подряд подобное вижу в разных топиках за пару минут.

[EUgeneUS]

@.@

(Оффтоп)

Во-первых, редактирование опубликованных постов закрывается через некоторое время (через час, вроде бы).
Во-вторых, в данном случае, имхо, редактирование стартового поста было бы не уместно, так как после исправления ошибки дальнейшее её обсуждение "подвисает".