Теорема о функциональной независимости системы функций

[Mad_Max]

Определение. Говорят, что система непрерывных функций $f_i(x)=f_i(x_1,\dots,x_m)$ $(i=1,\dots,n)$ является функционально независимой в окрестности точки $x_0$, если для любой непрерывной функции $F(y)=F(y_1,\dots,y_n)$, определенной в окрестности точки $y_0=(f_1(x_0),\dots,f_n(x_0))$, соотношение

$$F(f_1(x),\dots,f_m(x))\equiv 0$$

в окрестности точки $x_0$ возможно только в случае, когда $F(y_1,\dots,y_n)\equiv 0$ в окрестности точки $y_0$.

Более точно, данное соотношение можно формализовать так: Предположим, что $x_0\in \mathbb{R}^m$, $U(x_0)$ окрестность точки $x_0$ и нам даны функции, определенные в $U(x_0)$, то есть $f_1,\dots,f_n:U(x_0)\to \mathbb{R}$. Мы говорим, что $f_1,\dots,f_n$ функционально независимы в окрестности точки $x_0$, если

$$\forall V(y_0) \ \forall F:V(y_0)\xrightarrow{\text{непр}} \mathbb{R} \ \Bigg(\exists \widehat{U}(x_0)\subset U(x_0): \forall x\in \widehat{U}(x_0) \ F (f_1(x),\dots,f_n(x))=0\Bigg)\Rightarrow$$

$$\Bigg(\exists \widehat{V}(y_0)\subset V(y_0): \forall y\in \widehat{V}(y_0) \ F (y)=0\Bigg).$$

Замечание. В вышеуказанной формуле каждая из $U,V,\widehat{U},\widehat{V}$ является окрестностью. Также окрестность $V(y_0)$ должна быть взята таким образом, что $f(U(x_0))\subset V(y_0)$, где $f(x)=(f_1(x),\dots,f_n(x))$.

Утверждение. Если система $f_i(x_1,\dots,x_m)$ $(i=1,\dots,n)$ гладких функций, определенных в окрестности $U(x_0)$ точки $x_0\in \mathbb{R}^m$, такова, что ранг матрицы

$$\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_m} \end{pmatrix}(x)$$

в любой точке $x\in U$ один и тот же и равен $k$, то

a) при $k=n$ система функционально независима в окрестности точки $x_0$;

b) при $k<n$ найдутся окрестность точки $x_0$ и такие $k$ функций система, пусть $f_1,\dots,f_k$, что остальные $n-k$ функций системы в этйо окрестности представляются в виде

$$f_i(x_1,\dots,x_m)=g_i(f_1(x_1,\dots,x_m),\dots, f_k(x_1,\dots,x_m)),$$

где $g_i(y_1,\dots,y_k) (i=k+1,\dots,n)$ - гладкие функции, определенные в окрестности точки
$y_0=(f_1(x_0),\dots,f_n(x_0))$ и зависящие только от $k$ координат текущей точки $y=(y_1,\dots,y_n)$.

Я думаю, что я понял доказательство этого утверждения достаточно хорошо хотя оно было сложным для меня и конечно я не собираюсь писать тут доказательство. Но есть следующее замечание, которое дано после доказательства.

Замечание. Мы показали, что если $k<n$, то найдутся $n-k$ специальных функций $F_i(y)=y_i-g_i(y_1,\dots,y_k)$ $(i=k+1,\dots,n)$, устанавливающих соотношения

$$F_i(f_1(x),\dots,f_k(x),f_i(x))\equiv 0 \quad (i=k+1,\dots,n)$$

между функциями системы $f_1,\dots,f_k,\dots,f_n$ в окрестности точки $x_0$.

Итак, у меня возникают два вопроса на которые я не могу ответить, хотя я потратил на это достаточно времени.

1. Если $k<n$, то следует ли что функции $f_1,\dots,f_k,\dots,f_n$ являются функционально зависимыми в окрестности точки $x_0$? Замечание говорит, что в этом случае найдутся $n-k$ соотношений между функциями системы. Но как показать, что $F_i(y)\neq 0$ в любой окрестности $y_0$?

2. Если $k<n$, то следует ли что $f_1,\dots,f_k$ функционально независимы в окрестности точки $x_0$? Я думаю, что это следует из пункта a), примененного к $k$ функциям. Так ведь?

Я буду крайне признателен за Вашу помощь поскольку я потратил на это много времени и хотелось бы ответить на эти два вопроса (хотя один вопрос, поскольку второй как я думаю следует из пункта а).)

[mihaild]

Mad_Max в сообщении #1586642 писал(а):

Но как показать, что $F_i(y)\neq 0$ в любой окрестности $y_0$?

Так пошевелите немного $y_i$, $F_i$ сразу перестанет быть нулевой, даже если и была (потому что первое слагаемое в её определении поменяется, а второе нет).

Mad_Max в сообщении #1586642 писал(а):

2. Если $k<n$, то следует ли что $f_1,\dots,f_k$ функционально независимы в окрестности точки $x_0$? Я думаю, что это следует из пункта a), примененного к $k$ функциям. Так ведь?

Да, так (если понимать под этим "найдутся $k$ независимых функций" - если нам просто принесли $n$ функций и ранг матрицы равен $k$, то совершенно не обязательно, что именно первые $k$ функций независимы).

[Mad_Max]

mihaild в сообщении #1586678 писал(а):

Так пошевелите немного $y_i$, $F_i$ сразу перестанет быть нулевой, даже если и была (потому что первое слагаемое в её определении поменяется, а второе нет).

Да, вроде понял. То есть вы имеете ввиду пошевелить только $y_i$, а другие не трогать так ведь?

mihaild в сообщении #1586678 писал(а):

Да, так (если понимать под этим "найдутся $k$ независимых функций" - если нам просто принесли $n$ функций и ранг матрицы равен $k$, то совершенно не обязательно, что именно первые $k$ функций независимы).

Да, конечно. Вы совершенно правы! найдутся на самом деле $k$ функций из данных $n$, но без ограничения общности можно считать, что это первые $k$ функций.