Какой учебник по теории множеств посоветете?

[Sinoid]

Здравствуйте! Пока здесь еще есть люди, способные мне помочь в этом вопросе, хотелось бы спросить про это. Верещагин, Шень "Началв теории множеств" - не учебник, ну хорошо, я не спорю. Хотя зуб горит на него, и, скорее всего, в будущем я к нему вернусь, чтобы доработать. А тогда что? Не с Мостовского же начинать, С другой стороны, и книжку Калужнин "Введение в общую алгебру" мне уже поздно брать в руки: даже после того объема, который мне удалось проработать в упомянутой выше книге Верещагина, Шена, эта книга мне определенно ничего не даст. Разумеется, мне с расчетом в первую очередь на самостоятельное изучение. С другой стороны, первая часть Колмогорова и Фомина "Элементы теории функций и функционального анализа" - это, считай, те же Начала Верещагина, Шена, так что забрасывать Начала и переходить (когда-нибудь потом, когда вернусь к изучению теории множеств) на Колмогорова и Фомина особого смысла на данный момент не вижу.

[Padawan]

Сначала Колмогоров, Фомин, а затем
П. С. Александров Введение в теорию множеств и общую топологию или Ф. Хаусдорф Теория множеств
Это если речь идёт о наивной теории множеств. Задачи можно брать из Архангельский, Пономарёв Общая топология в задачах и упражнениях.

[мат-ламер]

Sinoid в сообщении #1586357 писал(а):

Верещагин, Шень "Началв теории множеств" - не учебник, ну хорошо, я не спорю.

Не берусь судить, что там является учебником, а что не является. Можете по крайней мере попытаться освоить первую главу из этой книги и первые два пункта из второй. Дальнейшее пока вам не нужно. По крайней мере на этапе изучения начал алгебры. А вот когда действительно будет нужно (нужна будет лемма Цорна, трансфинитная индукция и т.п.), можно будет попытаться освоить пункты 2.3-2.8. Для расширения кругозора можете качнуть лекции Вавилова "Не совсем наивная теория множеств" и попробовать прочесть оттуда хотя бы начало. Но острой необходимости в этом нет.

[Sinoid]

мат-ламер в сообщении #1586416 писал(а):

А вот когда действительно будет нужно (нужна будет лемма Цорна, трансфинитная индукция и т.п.), можно будет попытаться освоить пункты 2.3-2.8.

Весь вопрос только в том, останутся ли к тому времени, когда действительно будет нужно, здесь люди, способные мне в этом помочь. Вот вопрос на лям. Ладно, спасибо всем за помощь.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Sinoid в сообщении #1586357 писал(а):

Здравствуйте! Пока здесь еще есть люди, способные мне помочь

Sinoid в сообщении #1586498 писал(а):

Весь вопрос только в том, останутся ли к тому времени, когда действительно будет нужно, здесь люди, способные мне в этом помочь.

Зачем так беспокоиться? Может быть к тому времени, как не останется тут людей, способных помочь, и не нужна уже будет никому никакая теория множеств.

[мат-ламер]

Sinoid в сообщении #1586357 писал(а):

Верещагин, Шень "Началв теории множеств" - не учебник, ну хорошо, я не спорю.

А почему бы и не поспорить? Тут всё очень индивидуально. У вас лично какие-то претензии к этой книге есть?

Sinoid в сообщении #1586357 писал(а):

даже после того объема, который мне удалось проработать в упомянутой выше книге Верещагина, Шена,

А какой объём вам удалось проработать и каковы впечатления?

[Sinoid]

мат-ламер в сообщении #1586564 писал(а):

А почему бы и не поспорить? Тут всё очень индивидуально. У вас лично какие-то претензии к этой книге есть?

Да меня-то все там устраивало. Просто уважаемые ЗУ здесь не раз мне говорили, что это не учебник по теории множеств и для изучения ее нужно взять другую книгу. Спорить же я не стал, чтобы не отбивать желания мне помогать. Впрочем, я и не знаю, как выглядит учебник по теории множеств, предназначенный для изучения ее с нуля и очень может быть, что мне эта книга и нравилась, потому что у меня что-то в ней получалось. Но, с другой стороны, вот я открываю рекомендованную мне главу книги

Padawan в сообщении #1586380 писал(а):

Сначала Колмогоров, Фомин

и что же я там вижу? А вижу я там то, что по содержанию это практически та же книга Верещагина, Шена "Начала теории множеств": та же теорема Цермело, та же трансфинитная индукция... Только в Колмогорове, Фомине еще не прочитано ни единой страницы, не обсуждено ни единой опечатки (а они и там, стоподуво, есть) в то время, как у Верещагина, Шена уже прочитана и обсуждены там все опечатки (не здесь, а в другом месте) с одним авторитетным, поверьте, человеком. Только задачи тогда не получилось решить. Уже прочитана некоторая доля и второй части. Только не обсуждены некоторые подозрительные места. И вот уходить от этого всего и начинать про то же самое в другой книге, да еще и без задач... Хм... Нет, при необходимости я, конечно, начну заново, но в предисловии к Верещагину, Шену сказано, что эта книга может быть рекомендована для прочтения еще и школьникам. Так что лучшего введения в теорию множеств в моей сегодняшней ситуации, в том состоянии моего познании, в котором я нахожусь здесь и сейчас, мне, ИМХО, трудно найти. Начал же я изучения теории множеств именно по этой книге только потому, что на каждом углу трубилось, что это лучшая, ну или одна из лучших, книг для начала изучения теории множеств. Может быть, не лучшая рекомендация, не спорю, но как есть.

мат-ламер в сообщении #1586564 писал(а):

А какой объём вам удалось проработать и каковы впечатления?

Дорешал до задачи 48. В процессе решения этой задачи оступился, после чего был сделан очередной вывод о моей неготовности сейчас (тогда) к изучению этой книги. Да я не спорю: с одной стороны, база у меня незакончена, но, с другой-то стороны, ведь в решении задач из той же книги Верещагина, Шена не используется же высшая алгебра прям уж в каждой задаче. Ну может, в трех-четырех. Ну это ведь тьфу. А вот гораздо хуже, если мне станет некому дочитать, дорешать основы теории множеств. Вот это станет вилы: если изучение алгебры я смогу с большим скрипом закончить самостоятельно: там проверку задач с опечатками в условии или в ответе можно хоть как-то организовать с помощью какого-нибудь матпакета (хотя этот вариант для меня очень нежелателен, я им воспользуюсь только в самом крайнем случае, да и не применишь матпакет для вычисления, скажем, определителя $n$-го порядка или для проверки какого либо утверждения о уравнении степени $n$. Короче, бр-р), то в случае задач по теории множеств такую проверку будет организовать просто негде! Вот и останусь на ромашке гадать, правильно-неправильно решил задачу. Это не говоря о опечатках, невнятности, двух-, многосмысленностях в доказательствах теорем...

[мат-ламер]

Sinoid в сообщении #1586631 писал(а):

Да меня-то все там устраивало. Просто уважаемые ЗУ здесь не раз мне говорили, что это не учебник по теории множеств и для изучения ее нужно взять другую книгу. Спорить же я не стал, чтобы не отбивать желания мне помогать.

Я что-то не вижу других более-менее элементарных учебников, которые были бы радикально лучше этой книги. Есть книги более толстые и основательные. Но необходимость их изучения сомнительна. Может вы не так поняли советы ЗУ? Они наверное имели в виду:

Sinoid в сообщении #1586631 писал(а):

после чего был сделан очередной вывод о моей неготовности сейчас (тогда) к изучению этой книги

Если книга кажется вам слишком сложной, то можно начать с чего-нибудь попроще. Например есть простые книги у Виленкина и у Локуциевского. А так, книга в принципе нормальная. Другое дело, я думаю, что ЗУ имели в виду, что если вы будете долбить эту книгу от корки до корки, то это займёт слишком много времени, которое можно было бы использовать более оптимально.

Sinoid в сообщении #1586631 писал(а):

Так что лучшего введения в теорию множеств в моей сегодняшней ситуации, в том состоянии моего познании, в котором я нахожусь здесь и сейчас, мне, ИМХО, трудно найти.

Ну, так потихоньку между делом добивайте эту книгу, но без фанатизма. А то, что вы не готовы к изучению этой книги, так это дело временное. В процессе изучения готовность будет увеличиваться. Но если книга не идёт в принципе, то не стоит делать из этого трагедии. Отложите её. Вернётесь к ней попозже.

Sinoid в сообщении #1586631 писал(а):

Дорешал до задачи 48 . В процессе решения этой задачи оступился

Ха! Я тоже! Напомню задачу: "Докажите, что если отрезок разбит на две части, то хотя бы одна из них равномощна отрезку". В предположении истинности гипотезы континуума задача показалась мне простой. А что, если предположить, что между счётным множеством и континуумом существует промежуточная мощность? И отрезок разбит на два множества с такой мощностью? И тут у меня возник вопрос о мощности объединения двух множеств с одинаковой мощностью (бесконечной). То, что она будет равна мощности каждого множества, я знал. Но не мог вспомнить, как это доказывается. Открыл Верещагина-Шеня и увидел теорему 33, которая основана на том, что любые две мощности сравнимы между собой. Что отнюдь неочевидно и не так просто доказывается.

Это я к тому, что любой человек может споткнуться на любом месте. И не надо делать из этого трагедии. Мне кажется, вы слишком остро всё воспринимаете.

А на счёт учебников, то тут очень много личного. Вот вы сейчас алгебру изучаете. Кому-то нравится Кострикин, а кому-то Винберг. А кому-то Калужнин. А кто-то читает что-то на английском. Лучшего учебника для всех не существует. У всех учебников есть что-то своё хорошее и что-то своё сомнительное.

[EminentVictorians]

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #1586664 писал(а):

Напомню задачу: "Докажите, что если отрезок разбит на две части, то хотя бы одна из них равномощна отрезку". В предположении истинности гипотезы континуума задача показалась мне простой.

По-моему, все проще и континуум гипотеза тут не нужна. Пусть $A$ - отрезок. $A = B \sqcup C$ - его дизъюнктное разбиение на 2 множества. Тогда $\mathbf{c} = |A| = |B \sqcup C| = |B| + |C| = \max\{|B|, |C| \}$. Последнее равенство возможно, т.к. как минимум одна из мощностей $|B|, |C|$ не конечная, и они обе не ноль (если одно из множеств $B, C$ пустое, то теорема тривиализируется). Но я упомянутую выше книгу не читал, и вообще теорию множеств никогда специально не учил, так что не претендую.

мат-ламер в сообщении #1586664 писал(а):

Это я к тому, что любой человек может споткнуться на любом месте. И не надо делать из этого трагедии.

Подпишусь под этими словами. Лично я спотыкаюсь примерно каждые 10 минут занятий математикой И ничего, жив пока.

Sinoid, Вы действительно как-то уж слишком серьезно ко всему этому относитесь. Хотите читать Верещагина, Шеня - очень хорошо. Какая разница, кто там что говорил об этой книге.
Математика должна быть для души, а не из под палки. Читайте, кайфуйте и ни о чем не переживайте.

[мат-ламер]

EminentVictorians в сообщении #1586679 писал(а):

По-моему, все проще и континуум гипотеза тут не нужна.

Если прочитать моё сообщение дальше, то и у меня не нужна. Но у меня и у вас используется утверждение, основанное на аксиоме выбора, которое к моменту формулировки задачи ещё не сформулировано. Перед этим была ровно такая же задача (47), но про квадрат. Как её решать, в книге рассказано. Возможно ту задачу без подсказки я бы с ходу не решил. Если воспользоваться результатом той задачи, то ясно и как решать задачу 48. То есть, мы сначала устраиваем взаимно-однозначное соответствие между квадратом и отрезком. В квадрате находим континуумную часть. Ей будет соответствовать и континуумная часть в отрезке. Но когда в предыдущем посту я писал, что затупил при решении задачи 48, я не догадался посмотреть на задачу 47. А когда посмотрел, то вроде и понятно стало.

Какой отсюда вывод? Утверждения в задачах 47 и 48 сами по себе трудноваты. И ничего страшного, если такие утверждения сами сразу не решаются. Но с подсказками они становятся лёгкими. Не вижу ничего зазорного, что задачи такого уровня сложности без подсказок у топик-стартера пока не получаются. Просто надо двигаться дальше. А решение такого рода задач развивает мозги. И тут некоторые писали топик-стартеру, что не надо изучать теорию множеств, мол применений в других науках не так и много. А я думаю, что изучать эту теорию нужно не только ради применения, но и просто для того, чтобы развивать мозги, развивать навыки абстрактного мышления. Ломоносов как-то выразился в том духе, что математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит. А это поважнее будет, чем конкретные знания.

[EminentVictorians]

мат-ламер в сообщении #1586716 писал(а):

Перед этим была ровно такая же задача (47), но про квадрат.

Я бы ее точно так же решал. Можно сформулировать общее утверждение: если некоторое бесконечное множество $A$ разбито на 2 множества $B$ и $C$, то хотя бы одно из этих двух равномощно множеству $A$. Доказывается такой же строчкой, как у меня выше (ну только букву $c$ убрать разве что). В таком варианте нету никакой привязки ни к континуальности, ни к геометрическим образам. Просто я сторонник того, что если что-то можно решить просто, надо решать просто. И мне кажется, что тут именно такой случай: обе задачи решаются совсем легко, если использовать арифметику кардиналов. А была она к этому моменту или нет - мне, например, было бы не важно (все равно ее знать не будет лишним).

[мат-ламер]

EminentVictorians в сообщении #1586725 писал(а):

обе задачи решаются совсем легко, если использовать арифметику кардиналов. А была она к этому моменту или нет - мне, например, было бы не важно (все равно ее знать не будет лишним).

Отсюда вывод, что знание второй главы этой книги отнюдь не бесполезно. Хотя на первый взгляд она кажется довольно специальной. И некоторые теоремы там довольно трудны. Ну и что? Никто не заставляет там самому всё доказывать или запоминать доказательства. Формулировки основных теорем там достаточно просты. И их просто полезно знать хотя бы для общего развития. И хотя бы ориентироваться, где чего можно найти, когда в этом возникнет необходимость.

EminentVictorians в сообщении #1586725 писал(а):

Я бы ее точно так же решал.

Это всё понятно. Но я исходил из того, что до этого изложено в книге и что должен к этому моменту знать топик-стартер.