Вопрос о топологиях множества

[bibip]

Есть следующая задача по которой у меня возникли вопросы. Они касаются определения топологий множества и определения объединение множеств, но начнем по порядку. Задача следующая:
Является ли объединение (пересечение) топологий, заданных на одном и том же множества $X$, топологией на $X$?
Начнем с определения топологии:
$\tau$ - топология на множестве X ($\tau \subset 2^{X}$), (аксиомы топологии):
1) $\varnothing ,X \in \tau$
2) $U_{1},U_{2} \in \tau \Longrightarrow U_{1} \cap U_{2} \in \tau$
3) $U_{\alpha} \in \tau , \alpha \in A \Longrightarrow \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha} \in \tau $
И сразу вопросы:
1. Правильно ли записаны условия (1),2),3)) топологии на множестве?
2. Правильно, топология на множестве это некое семейство множеств, которое обозначается просто как какое-то множество $\tau$?
Перейдем к определению объединение множеств:
$\bigcup\limits_{\alpha \in W} Q_{\alpha} = \{x; \exists \alpha \in W(x \in Q_{\alpha})\} $ - как я понимаю данную запись: "В множестве индексов $W$ найдется такой индекс $\alpha$, что данному индексу соответствует множество, которому принадлежит элемент $x$?"
3. Правильно я понимаю математическое определение объединения множеств?
Перейдем к доказательству
Пусть $\{\tau_{\beta}, \beta \in B\}$ - семейство топологий на множеству $X$.
Доказать: $\bigcup\limits_{\beta \in B} \tau_{\beta}$ - топология на $X$.
Пусть $T$ - топология на множестве $X$ и $T \in \Bigg( \bigcup\limits_{\beta \in B} \tau_{\beta} \Bigg)$
Согласно определения объединения множеств:
$\bigcup\limits_{\beta \in B} \tau_{\beta} = \{T;\exists \beta_{0} \in B, T \in \tau_{\beta}\}$
Так как элементы $\bigcup\limits_{\beta \in B} \tau_{\beta}$ - топологии, то при объединении топологий, то не найдется множества $X$, так как мы считаем топологию как неделимый элемент множества $\bigcup\limits_{\beta \in B} \tau_{\beta}$, то условие 1) не выполнено.

Цитата:

Так как элементы $\bigcup\limits_{\beta \in B} \tau_{\beta}$ - топологии, то при объединении топологий, то не найдется множества $X$, так как мы считаем топологию как неделимый элемент множества $\bigcup\limits_{\beta \in B} \tau_{\beta}$, то условие 1) не выполнено.

- правильно? (то есть я имею в виду, что мы не можем сказать, что топология - это тоже некое множество, которое содержит другие элементы).
Тогда с такой точки зрения непонятно как находить пересечения множеств, если они "не раскладываются на поджмножества". В общем я запутался с этими определениями.

[EminentVictorians]

bibip в сообщении #1586095 писал(а):

2) $U_{1},U_{2} \in \tau \Longrightarrow U_{1} \cap U_{2} \in \tau$

Обычно требуют конечное пересечение, а не просто пересечение двух (да и эстетически требовать конечное пересечение как-то правильнее)

bibip в сообщении #1586095 писал(а):

2. Правильно, топология на множестве это некое семейство множеств, которое обозначается просто как какое-то множество $\tau$?

Да.

bibip в сообщении #1586095 писал(а):

3. Правильно я понимаю математическое определение объединения множеств?

Да.

[mihaild]

С определениями всё хорошо. Путаница начинается вот здесь:

bibip в сообщении #1586095 писал(а):

Пусть $T$ - топология на множестве $X$ и $T \in \Bigg( \bigcup\limits_{\beta \in B} \tau_{\beta} \Bigg)$

Топология - это некоторое семейство подмножеств $X$. Объединение топологий - это тоже семейство подмножеств $X$. Т.е. стоит спрашивать о том, является ли топология подмножеством (а не элементом) объединения топологий.

bibip в сообщении #1586095 писал(а):

Пусть $\{\tau_{\beta}, \beta \in B\}$ - семейство топологий на множеству $X$.

В этой записи каждое $\tau_\beta$ должно быть топологией, а не набором топологий.

Возможно тут поможет детская аналогия, чтобы меньше путаться в семействах множеств подмножеств.
Элементы множества $X$ - яблоки. Причем яблоки одного цвета отождествляем (чтобы можно было одно яблоко класть в несколько коробок сразу).
Подмножество $X$ - коробка с яблоками.
Топология на $X$ - грузовик с коробками с яблоками.
Аксиомы топологии говорят, что 1) в грузовике есть пустая коробка и в грузовике есть коробка, в которой лежат все яблоки; 2) если взять из грузовика две коробки, то найдется третья, в которой лежат ровно те яблоки, которые лежат в обеих коробках; 3) если взять произвольный набор коробок из грузовика, и пересыпать яблоки из них в одну коробку (считая несколько яблок одного цвета одним), то найдется коробка, которая содержит ровно такой же набор яблок, как у нас получилось.
Семейство топологий - стоянка с грузовиками.
Объединение топологий - грузовик, в который загрузили все коробки из всех грузовиков со стоянки.
Ну и понятно, что коробка со всеми яблоками в таком грузовике окажется (если стоянка была непустой, конечно), потому что она была в одном из исходных грузовиков.

bibip в сообщении #1586095 писал(а):

Является ли объединение (пересечение) топологий, заданных на одном и том же множества $X$, топологией на $X$?

Тут, скорее всего, подразумевалось объединение или пересечение двух топологий, а не произвольного семейства. Хотя ответ от этого не меняется.

EminentVictorians в сообщении #1586096 писал(а):

Обычно требуют конечное пересечение, а не просто пересечение двух

Это очевидно одно и то же, проверять всё равно всегда будут попарные пересечения. Ну и например у Рудина таки попарные пересечения.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1586097 писал(а):

Это очевидно одно и то же, проверять всё равно всегда будут попарные пересечения.

А я и не написал, что это ошибка То, что эквивалентно - очевидно. (Я просто не вполне уверен, что топология - это чисто геометрическая область. Да, она использует геометрическую интуицию, но многие топологии имеют иную мотивацию; я имею в виду, например, связное двоеточие, которое я видел в контексте матлогики и т.д.) В общем, я к тому, что вот эта фраза про "конечное пересечение множеств системы принадлежит системе" иногда встречается во внегеометрическом контексте, и у меня сразу щелкает, "а не топология ли тут появится?". По-моему, это полезная ассоциация.

-- 20.03.2023, 14:09 --

EminentVictorians в сообщении #1586098 писал(а):

которое я видел в контексте матлогики

Кстати, теорема компактности сюда же.

[bibip]

Спасибо огромное за ответ!!! Сейчас попытаюсь объяснить как я это все понял и как решать задачу.

[bibip]

Во-первых, вроде бы разобрался с вот этим:

Цитата:

Тогда с такой точки зрения непонятно как находить пересечения множеств, если они "не раскладываются на поджмножества". В общем я запутался с этими определениями.

Как я это понимаю сейчас:
"То есть объедения топологий это когда мы взяли различные топологии на множестве $X$ разбили их на подмножества и все эти подмножества положили в какое-то
единое множество $M$".
Теперь касательно строчки:

Цитата:

Пусть $T$ - топология на множестве $X$ и $T \in \Bigg( \bigcup\limits_{\beta \in B} \tau_{\beta} \Bigg)$

Цитата:

Т.е. стоит спрашивать о том, является ли топология подмножеством (а не элементом) объединения топологий.

$T$ - некая топология которая включает в себя все объединение топологий $\bigcup\limits_{\beta \in B} \tau_{\beta}$, то есть $T$ - это НЕ элемент $\bigcup\limits_{\beta \in B} \tau_{\beta}$. $T \notin \bigcup\limits_{\beta \in B} \tau_{\beta}$
В принципе можно написать $\bigcup\limits_{\beta \in B} \tau_{\beta} \subset T$ ,так как, $T \in \bigcup\limits_{\beta \in B} \tau_{\beta}$ также верно или я ошибаюсь?

Цитата:

Пусть $\{\tau_{\beta}, \beta \in B\}$ - семейство топологий на множеству $X$.

Так тут $\tau_{\beta}$ - это некая топология с индексом $\beta$ из множества $B$, то есть каждая $\tau_{\beta}$ из набора топологий есть топология на соответствующем множестве.

Цитата:

Перейдем к доказательству
Пусть $\{\tau_{\beta}, \beta \in B\}$ - семейство топологий на множеству $X$.
Доказать: $\bigcup\limits_{\beta \in B} \tau_{\beta}$ - топология на $X$.
Пусть $T$ - топология на множестве $X$ и $T \in \Bigg( \bigcup\limits_{\beta \in B} \tau_{\beta} \Bigg)$

А вот дальше нужно по другому (согласно определению топологии):
1) $\varnothing,X \in T : \forall \beta_{0} \in B \exists \varnothing,X \in \tau_{\beta_{0}}$
2) Пусть:
$U_{11},U_{12} \in \tau_{\beta_{00}} \Longrightarrow U_{11} \cap U_{12} \in \tau_{\beta_{00}}$
$U_{21},U_{22} \in \tau_{\beta_{01}} \Longrightarrow U_{21} \cap U_{22} \in \tau_{\beta_{01}}$
$\forall \beta_{00},\beta_{01} \in B \exists \tau_{\beta_{00}},\tau_{\beta_{01}} \exists U_{11} \cap U_{12} \in \tau_{\beta_{00}}, U_{21} \cap U_{22} \in \tau_{\beta_{01}}, \beta_{00},\beta_{01} - topologii \Longrightarrow \\ \Longrightarrow (U_{11} \cap U_{12}) \cap (U_{21} \cap U_{22}) = (U_{11} \cap U_{12} \cap U_{21} \cap U_{22} ) \Longrightarrow \\ \Longrightarrow (U_{11} \cap U_{12}),(U_{21} \cap U_{22}) \in T \Longrightarrow (U_{11} \cap U_{12} \cap U_{21} \cap U_{22} ) \in T $
(лучше бы я написал это словами)
3) Выполняется автоматически при объедении топологий.
По-моему я написал, что-то не то(бред) , особенно пункт 3). Видим надо над этим надо еще подумать.

[bibip]

Подумал, чтобы было неплохо перед тем как доказывать все эти утверждения касательно топологий множества было бы неплохо построить к примеру две топологии множества и для двух данных топологий проверить утверждение задачи.
Пусть $X = \{1;2;3;4;5;6;7\}$
Построим на множестве $X$ топологию $\tau_{1}$. Во-первых $\tau_{1}$ должна содержать исходное множество и пустое множество, то $X,\varnothing \in \tau_{1}$, теперь пусть топологии $\tau_{1}$ принадлежат элементы $\{1;2\},\{2;3\}$ , тогда согласно аксиоме топологии 2) $\{1;2\} \cap \{2;3\} = \{2\}$, то есть $\{2\} \in \tau_{1}$ также согласно определению.
Однако не все так просто.
Перейдем к третьей аксиоме:
Тогда $\{1;2\} \cup \{2;3\} = \{1;2;3\}$
Тогда построена следующая топология:
$\tau_{1} = \{\varnothing,X,\{2\},\{1;2\},\{2;3\},\{1;2;3\}\}$ - надеюсь, что правильно построил топологию.
Теперь аналогично построим топологию $\tau_{2}$, тогда:
$\tau_{2} = \{\varnothing,X,\{2\},\{2;5\},\{2;7\},\{2;5;7\}\}$
1)
Теперь попробуем объединить данные топологии и проверим будет ли их объедение топологией на $X$:
Пусть $T =\tau_{1} \cup \tau_{1} = \{\varnothing,X,\{2\},\{1;2\},\{2;3\},\{1;2;3\},\{2;5\},\{2;7\},\{2;5;7\}\} $
Однако аксиома 3) не работает, так как $\{1;2;3\} \cup \{2;5;7\}\ = \{1;2;3;5;7\}$ , однако $\{1;2;3;5;7\} \notin T$, таким образом $T$ - не является топологией на множестве $X$.
2)
Теперь попробуем найти пересечение данных топологий и проверим будет ли данное множество топологией на $X$:
Пусть $T =\tau_{1} \cap \tau_{1} = \{\varnothing,X,\{2\}\} $ - при пересечении $T$ - топология, таким образом имеет смысл доказывать гипотезу, о том, что пересечении топологий на множестве $X$ есть топология.

-- 03.04.2023, 11:03 --

Таким образом не имеет смысла доказывать утверждение, что является ли объединение топологий, заданных на одном и том же множества $X$, топологией на $X$? - к данному утверждению построен контрпример (см. сообщение выше) и согласно нему данное утверждение ложно.

Цитата:

Теперь попробуем объединить данные топологии и проверим будет ли их объедение топологией на $X$:
Пусть $T =\tau_{1} \cup \tau_{1} = \{\varnothing,X,\{2\},\{1;2\},\{2;3\},\{1;2;3\},\{2;5\},\{2;7\},\{2;5;7\}\} $
Однако аксиома 3) не работает, так как $\{1;2;3\} \cup \{2;5;7\}\ = \{1;2;3;5;7\}$ , однако $\{1;2;3;5;7\} \notin T$, таким образом $T$ - не является топологией на множестве $X$.

То есть имеет смысл доказывать утверждение является ли пересечение топологий, заданных на одном и том же множества $X$ , топологией на $X$?

-- 03.04.2023, 11:07 --

сообщении #1587980
Тогда в данном сообщении написан бред

[iifat]

bibip в сообщении #1588078 писал(а):

имеет смысл доказывать

bibip в сообщении #1588078 писал(а):

не имеет смысла доказывать

Странные и ни разу не математические высказывания, имхо, к тому ж сильно зависящие от понимания, что, собственно, есть смысл.
Утверждение о том, что объединение топологий является топологией, неверно, поскольку вами построен контрпример.
Утверждение о том, что пересечение топологий является топологией, остаётся открытым, поскольку вы пока не привели ни доказательства, ни контрпримера. Имеет ли смысл вам искать то либо другое — кто ж вам скажет. Может, имеет смысл забросить этот вопрос и поваляться на диване.

[vpb]

iifat
Да не, всё нормально. Я сам иногда в статьях пишу "имеет смысл рассмотреть вопрос о ..." и прочее такого типа.

[bibip]

Надеюсь, что смог доказать, данное утверждение: "Пересечение топологий, заданных на одном и том же множества $X$, является топологией на $X$". А также смотря литературу не только по топологии, а также по функциональному анализу удалось найти решение в книге (с.86;фото прилагаю) "А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа", Издание 4,1976. Однако мое доказательство не совпадает с книжным и в том, что оно правильно я не уверен.
Примечание:
Пусть:
$\{\tau_{\beta}, \beta \in B\}$ - семейство топологий на множестве $X$.
$K = \tau \backslash \{X,\varnothing\}$
$\{K_{\beta}, \beta \in B\}$ - набор множеств $K$ для соответствующего набора $\{\tau_{\beta}, \beta \in B\}$
Аксиомы топологии:
1) $\varnothing ,X \in \tau$
2) $U_{1},U_{2} \in \tau \Longrightarrow (U_{1} \cap U_{2}) \in \tau$
3) $U_{\alpha} \in \tau , \alpha \in A \Longrightarrow \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha} \in \tau $
Доказать: Пересечение топологий, заданных на одном и том же множества $X$, является топологией на $X$
Доказательство: $\bigcap\limits_{\beta \in B}\tau_{\beta}$ - топология на $X$
Согласно аксиоме топологии 1) $\varnothing ,X \in \tau_{\beta} \Longrightarrow \varnothing ,X \in \bigcap\limits_{\beta \in B}\tau_{\beta}$ - аксиома 1) выполнена.
Пусть $t_{1},t_{2} \in \bigcap\limits_{\beta \in B}\tau_{\beta}$ ($t_{1},t_{2}$ - некие множества принадлежащие объединению топологий и следовательно являются подмножество для каждого множества $\tau_{\beta}$).
Доказательство аксиомы 2):
$(t_{1}\cap t_{2}) \in \bigcap\limits_{\beta \in B}\tau_{\beta}$ так как согласно аксиоме 2) для $t_{1},t_{2}$ у соответствующего $\tau_{\beta}$ есть пересечение соответствующих $U_{1} \cap U_{2}$, то есть $t_{1},t_{2} \subset (U_{1} \cap U_{2})$ и $(U_{1} \cap U_{2}) \subset K$ для соответствующей топологии $\tau_{\beta}$ и $t_{1},t_{2} \subset \bigcap\limits_{\beta \in B}K_{\beta}$, то соответствующие $U_{1},U_{2} \subset \bigcap\limits_{\beta \in B}K_{\beta} \Longrightarrow (U_{1} \cap U_{2}) \subset \bigcap\limits_{\beta \in B}\tau_{\beta}$.
Доказательство аксиомы 3):
$(t_{1}\cup t_{2}) \in \bigcap\limits_{\beta \in B}\tau_{\beta}$ так как согласно аксиоме 3) для $t_{1},t_{2}$ у соответствующего $\tau_{\beta}$ есть объединение соответствующих $U_{1} \cup U_{2}$, то есть $t_{1},t_{2} \subset (U_{1} \cup U_{2})$ и $(U_{1} \cup U_{2}) \subset K$ для соответствующей топологии $\tau_{\beta}$ и $t_{1},t_{2} \subset \bigcap\limits_{\beta \in B}K_{\beta}$, то соответствующие $U_{1},U_{2} \subset \bigcap\limits_{\beta \in B}K_{\beta} \Longrightarrow (U_{1} \cup U_{2}) \subset \bigcap\limits_{\beta \in B}\tau_{\beta}$.


-- 06.04.2023, 18:04 --
(

Утундрий в сообщении #1442311 писал(а):

На текущий момент автор напряжённо работает над подтверждением своего заблуждения.

)
Видимо доказать строго по определению топологии без использования дополнительных средств весьма затруднительно. Буду более детально разбираться с замкнутыми множествами их свойствами и т.д.

[mihaild]

bibip в сообщении #1588541 писал(а):

$K = \tau \backslash \{X,\varnothing\}$
$\{K_{\beta}, \beta \in B\}$ - набор множеств $K$ для соответствующего набора $\{\tau_{\beta}, \beta \in B\}$

Если Вы хотели написать, что $K_\beta = \tau_\beta \setminus \{X, \varnothing\}$, то вот так надо писать, а как Вы написали - не надо. Ваша запись предполагает, что есть какое-то фиксированное множество $\tau$, по которому Вы строите $K$, и ничего не говорит про $K_\beta$.

bibip в сообщении #1588541 писал(а):

Пусть $t_{1},t_{2} \in \bigcap\limits_{\beta \in B}\tau_{\beta}$ ($t_{1},t_{2}$ - некие множества принадлежащие объединению топологий и следовательно являются подмножество для каждого множества $\tau_{\beta}$)

В скобках написано не то, что формулой. И откуда взялось объединение топологий, зачем подмножества топологий?

bibip в сообщении #1588541 писал(а):

для $t_{1},t_{2}$ у соответствующего $\tau_{\beta}$ есть пересечение соответствующих $U_{1} \cap U_{2}$,

Ничего не понятно. Что такое $U$ - открытые множества, точки, топологии?
Всё же гораздо проще. Пусть $t_1, t_2 \in \cap_\beta \tau_\beta$. Тогда $\forall \beta: t_1, t_2 \in \tau_\beta$. Тогда (по аксиомам топологии) $\forall \beta: t_1 \cap t_2 \in \tau_\beta$. Тогда (по определению пересечения) $t_1 \cap t_2 \in \cap_\beta \tau_\beta$.

bibip в сообщении #1588541 писал(а):

Видимо доказать строго по определению топологии без использования дополнительных средств весьма затруднительно.

"Замкнутость" с Вашего скриншота не связано с замкнутыми множествами в смысле топологии. Замкнутость множества относительно операции (например топологии относительно конечного пересечения) означает, что если взять несколько элементов из множества и применить к ним эту операцию, то получится опять элемент из множества.

[bibip]

Теперь вроде стало, ясно спасибо всем откликнувшимся!

[EminentVictorians]

bibip в сообщении #1588541 писал(а):

Доказательство аксиомы 2):
$(t_{1}\cap t_{2}) \in \bigcap\limits_{\beta \in B}\tau_{\beta}$

bibip, доказательство этого места должно начинаться как у mihaild: возьмем произвольную пару $t_1, t_2$ элементов, принадлежащих нашему пересечению топологий. Докажем, что $t_1 \cap t_2$ тоже принадлежит нашему пересечению топологий.

bibip в сообщении #1588541 писал(а):

Доказательство аксиомы 3):
$(t_{1}\cup t_{2}) \in \bigcap\limits_{\beta \in B}\tau_{\beta}$

Принципиальная разница этого пункта, по сравнению с предыдущим, в том, что нельзя просто взять какую-то пару $t_1, t_2$. (Это для пересечений замкнутость относительно пересечения любых двух эквивалентна замкнутости относительно любого конечного пересечения; с объединением слегка сложнее). Здесь мы берем уже произвольное семейство $\{t_i\}, t_i \in \cap_\beta \tau_\beta, i \in I$ (где $I$ - индексирующее множество), и доказываем, что объединение $\cup_{i \in I}t_i$ принадлежит той топологии, которая Вам интересна (т.е. $\cap_\beta \tau_\beta$).