Получить характеристики сигнала с помощью МНК

[Евгений Машеров]

Основной шаг Л-М - линейная регрессия (производных на остатки), и с шумом работает хорошо. Если очень уж большой шум - да, возможно застревание в локальных минимумах, но и Ньютон тут не безгрешен. Так что я за Л-М, но и Ваш подход может работать. Что до Фурье - он тут максимум для начального приближения. Он оценивает сразу все возможные пики, а их у нас ровно один, согласно модели. Можно авторегрессией считать, или другим "малопиковым" методом.

[Евгений Машеров]

Ну вот попробовал простой подход к оценке частоты единственного синусоидального компонента. Вторая производная от синусоиды это синусоида тех же частоты и фазы, но амплитуда домножена на величину, зависящую от частоты. Поскольку у нас s(t) задан дискретно, то используем аппроксимацию производной разностями, что для второй производной выглядит, как $d(t)=2s(t)-s(t-1)-s(t+1)$
Строим линейную регрессию s(t) на d(t), свободный член даёт искомую постоянную составляющую, коэффициент при d(t) очевидным образом связан с частотой (если честно - мне лень выписывать, но там действительно несложно).
Затем, зная частоту f, строим регрессию на $sin 2\pi f$ и $\cos 2\pi f$
Получаем оценки двух амплитуд (синфазной и квадратурной, щегольну умным словом) составляющих, и, если надо, получаем фазу и амплитуду сигнала в целом.
Результат на графике (синее - исходный сигнал, красное - оценка)
Видно, что не всё так хорошо, разница мала, но систематически отличается слева и справа от центра рисунка, что, надо думать, продукт неточности оценки частоты ("фаза плывёт", на величину разности оцененной и истинной частоты за секунду). Тут можно дошлифовать каким-либо способом (для Левенберга-Марквардта найти отклонения по точкам и построить регрессию на производную оцененного сигнала по частоте, коэффициент этой регрессии даст поправку к частоте, или же использовать другой предложенный здесь приём, рассматривать частоту, как параметр нелинейной оптимизационной задачи, строя регрессию s(t) на синусы и косинусы, как функции t).

Подход обобщаем на большее, но известное число составляющих. На каждую добавляется по две разности (т.е. для двух синусоид надо брать s(t-2), s(t-1), s(t), s(t+1), s(t+2); симметрия точек не обязательна, можно брать точки вообще по одну сторону от t, получится некая авторегрессия). Расчёт частот несколько усложнится, но тоже возможен.

[ilghiz]

Евгений Машеров в сообщении #1586959 писал(а):

Основной шаг Л-М - линейная регрессия (производных на остатки), и с шумом работает хорошо.

С этим я конечно же с Вами согласен с оговоркой, если мы в окрестности нужного минимума. Мой же основной тезис - работать с одномерной задачей с кучей минимумов на порядки проще, чем с многомерной с тем же числом минимумов, особенно если многомерная задача имеет различные скалировки по минимизируемым параметрам.

А то, что у задачи будет куча минимумов - можно думаю, доказать, что каждый максимум на Фурье спектре (кроме нулевого конечно же) приведет к своему локальному минимуму, а какой у ТС спектр - мы не знаем, и лучше отталкиваться от худшего, чтобы его не обнадеживать.

[Александрович]

Сделал аппроксимацию Поиском решения в Эксель. $B\approx70,99$;$A\approx8,098$;$f\approx8,098$.

(Оффтоп)

Подскажите как изображение вставить?

[Amw]

Kevsh в сообщении #1585869 писал(а):

У меня есть набор точек, причём я знаю общий вид функции: $s(t)=B+A\sin{(2 \pi ft + \varphi)}$. Проблема в том, что я не знаю ни $A$, ни $B$, ни $f$, ни $\varphi$.

Классическая задача нелинейного программирования - решается в лоб. Как уже говорили - метод наименьших квадратов.

ilghiz в сообщении #1586924 писал(а):

...в этой задаче будет много локальных минимумов.

Не будет, если начальные условия взять не совсем "от балды".

Сразу определяются все четыре параметра.

-- 28.03.2023, 08:42 --

Александрович в сообщении #1587128 писал(а):

Подскажите как изображение вставить?

Со сторонних источников у меня сейчас картинка в форуме не отображается - только ссылка, раньше отображалась.

-- 28.03.2023, 08:47 --

Когда-то давно... "на заре", имея АЦП с дискретом 50нсек и памятью 4096 точек измерял таким методом период синусоиды и сдвиг по фазе с точностью долей наносекунды.
Сейчас можно сделать, например в Mathcad.

[Александрович]

Amw в сообщении #1587131 писал(а):

Со сторонних источников у меня сейчас картинка в форуме не отображается - только ссылка, раньше отображалась.

Что нужно делать?

[Amw]

Александрович,

(Оффтоп)

Разместить картинку на любом ресурсе интернета и ссылку на неё поместить в тегах [i-mg][/img] (черточку убрать).
Получится так -
Или в тегах [u-rl][/url]
[u-rl=http://amw.712.ru/Amw/2023-03-28_08-27-25.png]Синус[/url]
Получится так - Синус

Евгений Машеров умеет, но молчит - подозреваю, что картинки размещать разрешено только "Заслуженным участникам".

[Amw]

(Оффтоп)

Во, научился картинки вставлять и полноразмерные и миниатюры. Через сайт https://imgbb.com

[Александрович]

(Оффтоп)

Amw в сообщении #1587185 писал(а):

Во, научился картинки вставлять и полноразмерные и миниатюры. Через сайт https://imgbb.com

После того как нажал загрузить что делать?

[Amw]

(Оффтоп)

Скопировать ВВ-код и поместить в текст своего сообщения на форуме