Контурное интегрирование с соприкасающимися контурами

[apt]

Изначально есть интеграл

$$\oint_{C_i}\oint_{C_j}\ln(r)dx_idx_j+\ln(r)dy_idy_j+\ln(r)dz_idz_j,\qquad r=\sqrt{(x_i-x_j)^2+(y_i-y_j)^2+(z_i-z_j)^2}$$

Есть два квадрата, которые соприкасаются одной стороной, скажем, на оси $x$
Тогда получается для этих двух линий

$$\int_a^b\int_c^d\ln\sqrt{(x_i-x_j)^2}dx_idx_j$$

И возникает проблема, поскольку результат интегрирования содержит в себе члены $\ln\left((a-d)^2\right)$ и, если точки $a$ и $d$ совпадают, то возникает неопределённость

Вторым вопросом является то, а как вообще такие интегралы считаются численно? Нужно ли каждый раз специально проверять такие случаи и как-то отдельно их обрабатывать или есть какая-то общая методика?

[Утундрий]

apt в сообщении #1585236 писал(а):

Вторым вопросом является то, а как вообще такие интегралы считаются численно?

Так же, как и любые другие. А какой был первый вопрос?

[svv]

apt в сообщении #1585236 писал(а):

И возникает проблема, поскольку результат интегрирования содержит в себе члены $\ln\left((a-d)^2\right)$ и, если точки $a$ и $d$ совпадают, то возникает неопределённость

Интеграл $\int\limits_0^1\ln x\;dx$ сходится.
Есть члены вида $(a-d)\ln|a-d|$. Это выражение стремится к нулю при $a-d\to 0$.

[apt]

Утундрий
svv
Действительно, не ясно выразился
Интеграл

$$ 4\int_a^b\int_c^d\ln\sqrt{(x_i-x_j)^2}dx_idx_j=2 a^2 \ln \left[\frac{1}{(a-c)(a-d)}\right]-6 (a-b) (c-d)+c (2 a-c) \ln\left[(a-c)^2\right]+ $$

$$+d (d-2 a) \ln \left[(a-d)^2\right]+2b^2 \ln \left[\frac{b-c}{b-d}\right]+c (c-2 b) \ln\left[(b-c)^2\right]-d (2 b+d) \ln\left[(b-d)^2\right]$$

И он расходится при $d\to a$ или $c\to b$ (я выражение немного упростил, но Maple или Mathematica не могут посчитать предел и у изначального выражения)
Аналитическое вычисление данного интеграла при совпадении двух точек (т.е. когда $a=d$ или $b=c$ или и то и другое) и было первым вопросом
Вторым вопросом является численное вычисление такого интеграла даже если конечные точки не совпадают. Если его считать в лоб, при подстановке некоторых $x_i, x_j$ оказывается ситуация, когда $|x_i-x_j|\to 0$, тогда $\ln\sqrt{(x_i-x_j)^2}\to -\infty$
UPD: линии $ab$ и $cd$ лежат на одной и той же линии

[EUgeneUS]

apt
Если взять неопределенный интеграл:

apt в сообщении #1585236 писал(а):

$$\int_a^b\int_c^d\ln\sqrt{(x_i-x_j)^2}dx_idx_j$$

И немного упростить логарифмы в результате, то с логарифмами останется только член вида $(x_i-x_j)^2 \ln (x_i - x_j)^2$.
Который стремится к нулю при $x_i \to x_j$

Вам об этом выше писал уважаемый svv, но, видимо, осталось незамеченным.

[apt]

EUgeneUS
О том, что есть члены такого вида я прочитал, для чего привёл выражение, чтобы показать, что не все они такие.
Но, действительно, если полученное выражение упростить сразу, а потом уже подставлять пределы, то так и получается, спасибо.
А своё выражение я, видимо, недоупростил

[zykov]

apt в сообщении #1585236 писал(а):

Вторым вопросом является то, а как вообще такие интегралы считаются численно?

Если есть какие-то "нехорошие" точки, то есть смысл сделать замену переменных (можно кусочно), чтобы везде подинтегральная функция была более-менее регулярной.

[Markiyan Hirnyk]

Команда Математики 13.2

j = Integrate[Log[RealAbs[x - y]], {x, a, b}, {y, c, d},  Assumptions -> a < b && c < d && a > 0 && c > 0] // InputForm

производит

Piecewise[{{(6*b*c - 3*c^2 - 6*b*d + 3*d^2 + 2*b^2*Log[b - c] - 4*b*c*Log[b - c] + 2*c^2*Log[b - c] - 
     2*b^2*Log[b - d] + 4*b*d*Log[b - d] - 2*d^2*Log[b - d])/4, 
   (a > 0 && a - b < 0 && a - c == 0 && c - d < 0 && b - d >= 0 && a > 0 && a - b < 0 && c > 0 && a - c > 0 && 
     a - d == 0) || ( !(a > 0 && b > a && c == a && d > b) && 
      !(a > 0 && b > a && c == a && Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) &&  !(a > 0 && b > a && c == b && d > c) && 
      !(a > 0 && b > a && c > b && d > c) &&  !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) && 
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[a, Less, d, LessEqual, b]) && 
      !(a > 0 && b > a && Inequality[a, Less, c, Less, b] && d > b) && 
      !(a > 0 && b > a && Inequality[a, Less, c, Less, b] && Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) && a > 0 && 
     a - b < 0 && a - c <= 0 && b - c > 0 && c - d < 0 && b - d > 0)}, 
  {(-3*a*c + 3*b*c + 3*a*d - 3*b*d - a^2*Log[a - c] + 2*a*c*Log[a - c] - c^2*Log[a - c] + b^2*Log[b - c] - 
     2*b*c*Log[b - c] + c^2*Log[b - c] + a^2*Log[a - d] - 2*a*d*Log[a - d] + d^2*Log[a - d] - b^2*Log[b - d] + 
     2*b*d*Log[b - d] - d^2*Log[b - d])/2,  !(a > 0 && b > a && c == a && d > b) && 
     !(a > 0 && b > a && c == a && Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) &&  !(a > 0 && b > a && c == b && d > c) && 
     !(a > 0 && b > a && c > b && d > c) &&  !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[a, Less, d, LessEqual, b]) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, Less, c, Less, b] && d > b) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, Less, c, Less, b] && Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) && a > 0 && 
    a - b < 0 && c > 0 && a - c > 0 && c - d < 0 && a - d > 0}, {((a - d)^2*(-3 + 2*Log[-a + d]))/4, 
   a > 0 && a - b < 0 && c > 0 && a - c > 0 && a - d < 0 && b - d >= 0 && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == a) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == b) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[a, Less, d, Less, b]) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[c, Less, d, Less, a]) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d == b) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d > b) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && Inequality[c, Less, d, Less, b])}, 
  {(-3*a*c + 3*b*c + 3*a*d - 3*b*d - a^2*Log[a - c] + 2*a*c*Log[a - c] - c^2*Log[a - c] + b^2*Log[b - c] - 
     2*b*c*Log[b - c] + c^2*Log[b - c] - b^2*Log[b - d] + 2*b*d*Log[b - d] - d^2*Log[b - d] + a^2*Log[-a + d] - 
     2*a*d*Log[-a + d] + d^2*Log[-a + d])/2, a - b < 0 && a - d < 0 && b - d > 0 && a > 0 && a - c > 0 && c > 0}, 
  {(-3*a*c + 3*b*c + 3*a*d - 3*b*d + b^2*Log[b - c] - 2*b*c*Log[b - c] + c^2*Log[b - c] - a^2*Log[-a + c] + 
     2*a*c*Log[-a + c] - c^2*Log[-a + c] - b^2*Log[b - d] + 2*b*d*Log[b - d] - d^2*Log[b - d] + a^2*Log[-a + d] - 
     2*a*d*Log[-a + d] + d^2*Log[-a + d])/2, a - b < 0 && a - c < 0 && b - d > 0 && c - d < 0 && a > 0 && b - c > 0}, 
  {(-6*a*c + 3*c^2 + 6*a*d - 3*d^2 - 2*a^2*Log[-a + c] + 4*a*c*Log[-a + c] - 2*c^2*Log[-a + c] + 2*a^2*Log[-a + d] - 
     4*a*d*Log[-a + d] + 2*d^2*Log[-a + d])/4, (a > 0 && a - b < 0 && b - c == 0 && c - d < 0 && a > 0 && 
     a - b < 0 && a - c <= 0 && b - c > 0 && b - d == 0) || (a > 0 && a - b < 0 && a - c < 0 && b - c > 0 && 
     c - d < 0 && b - d >= 0 &&  !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == a) && 
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == b) && 
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) && 
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[a, Less, d, Less, b]) && 
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[c, Less, d, Less, a]) && 
      !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d == b) && 
      !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d > b) && 
      !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && Inequality[c, Less, d, Less, b]))}, 
  {(3*b^2 - 6*a*c + 3*c^2 + 6*a*d - 6*b*d - 2*a^2*Log[-a + c] + 4*a*c*Log[-a + c] - 2*c^2*Log[-a + c] + 
     2*a^2*Log[-a + d] - 4*a*d*Log[-a + d] + 2*d^2*Log[-a + d] - 2*b^2*Log[-b + d] + 4*b*d*Log[-b + d] - 
     2*d^2*Log[-b + d])/4, a > 0 && a - b < 0 && a - c < 0 && b - c > 0 && b - d < 0 && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == a) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == b) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[a, Less, d, Less, b]) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[c, Less, d, Less, a]) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d == b) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d > b) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && Inequality[c, Less, d, Less, b])}, 
  {(-3*a*c + 3*b*c + 3*a*d - 3*b*d + c^2*Log[(b - c)/(a - c)] + 2*a*c*Log[-a + c] + b^2*Log[-b + c] - 
     2*b*c*Log[-b + c] + a^2*Log[(a - d)/(a - c)] - 2*a*d*Log[-a + d] + d^2*Log[-a + d] - b^2*Log[-b + d] + 
     2*b*d*Log[-b + d] - d^2*Log[-b + d])/2, a > 0 && a - b < 0 && b - c < 0 && c - d < 0 && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == a) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == b) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[a, Less, d, Less, b]) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[c, Less, d, Less, a]) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d == b) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d > b) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && Inequality[c, Less, d, Less, b])}, 
  {(-3*a*c + 3*b*c + 3*a*d - 3*b*d - a^2*Log[a - c] + 2*a*c*Log[a - c] - c^2*Log[a - c] + b^2*Log[b - c] - 
     2*b*c*Log[b - c] + c^2*Log[b - c] + a^2*Log[-a + d] - 2*a*d*Log[-a + d] + d^2*Log[-a + d] - b^2*Log[-b + d] + 
     2*b*d*Log[-b + d] - d^2*Log[-b + d])/2, a > 0 && a - b < 0 && c > 0 && a - c > 0 && b - d < 0}, 
  {(-3*a*c + 3*b*c + 3*a*d - 3*b*d + b^2*Log[b - c] - 2*b*c*Log[b - c] + c^2*Log[b - c] - a^2*Log[-a + c] + 
     2*a*c*Log[-a + c] - c^2*Log[-a + c] + a^2*Log[-a + d] - 2*a*d*Log[-a + d] + d^2*Log[-a + d] - b^2*Log[-b + d] + 
     2*b*d*Log[-b + d] - d^2*Log[-b + d])/2, a - b < 0 && a - c < 0 && b - d < 0 && a > 0 && b - c > 0}, 
  {((c - d)^2*(-3 + 2*Log[-c + d]))/4, (a > 0 && a - b < 0 && a - c == 0 && c - d < 0 && b - d >= 0 && 
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == a) && 
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == b) && 
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) && 
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[a, Less, d, Less, b]) && 
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[c, Less, d, Less, a]) && 
      !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d == b) && 
      !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d > b) && 
      !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && Inequality[c, Less, d, Less, b])) || 
    ( !(a > 0 && b > a && c == a && d > b) &&  !(a > 0 && b > a && c == a && Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) && 
      !(a > 0 && b > a && c == b && d > c) &&  !(a > 0 && b > a && c > b && d > c) && 
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) && 
      !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[a, Less, d, LessEqual, b]) && 
      !(a > 0 && b > a && Inequality[a, Less, c, Less, b] && d > b) && 
      !(a > 0 && b > a && Inequality[a, Less, c, Less, b] && Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) && a > 0 && 
     a - b < 0 && a - c <= 0 && b - c > 0 && b - d == 0)}, {((c - d)^2*(-3 + 2*Log[-c + d]))/2, 
   a - c == 0 && b - d == 0 && a - b < 0 && c - d < 0 && a > 0 && b - c > 0}, 
  {(3*b*c - 3*b*d - 3*c*d + 3*d^2 + b^2*Log[b - c] - 2*b*c*Log[b - c] + c^2*Log[b - c] - b^2*Log[b - d] + 
     2*b*d*Log[b - d] - d^2*Log[b - d] - c^2*Log[-c + d] + 2*c*d*Log[-c + d] - d^2*Log[-c + d])/2, 
    !(a > 0 && b > a && c == a && d > b) &&  !(a > 0 && b > a && c == a && Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) && 
     !(a > 0 && b > a && c == b && d > c) &&  !(a > 0 && b > a && c > b && d > c) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[a, Less, d, LessEqual, b]) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, Less, c, Less, b] && d > b) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, Less, c, Less, b] && Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) && a > 0 && 
    a - b < 0 && c > 0 && a - c > 0 && a - d == 0}, 
  {(-3*a*c + 3*c^2 + 3*a*d - 3*c*d - a^2*Log[-a + c] + 2*a*c*Log[-a + c] - c^2*Log[-a + c] + a^2*Log[-a + d] - 
     2*a*d*Log[-a + d] + d^2*Log[-a + d] - c^2*Log[-c + d] + 2*c*d*Log[-c + d] - d^2*Log[-c + d])/2, 
   a > 0 && a - b < 0 && b - c == 0 && c - d < 0 &&  !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && 
      d == a) &&  !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == b) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[a, Less, d, Less, b]) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[c, Less, d, Less, a]) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d == b) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d > b) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && Inequality[c, Less, d, Less, b])}, 
  {(3*b*c - 3*c^2 - 3*b*d + 3*c*d + b^2*Log[b - c] - 2*b*c*Log[b - c] + c^2*Log[b - c] - b^2*Log[b - d] + 
     2*b*d*Log[b - d] - d^2*Log[b - d] + c^2*Log[-c + d] - 2*c*d*Log[-c + d] + d^2*Log[-c + d])/2, 
   a - c == 0 && a - b < 0 && b - d > 0 && c - d < 0 && a > 0 && b - c > 0}, 
  {(-3*a*c + 3*a*d + 3*c*d - 3*d^2 - a^2*Log[a - c] + 2*a*c*Log[a - c] - c^2*Log[a - c] + a^2*Log[-a + d] - 
     2*a*d*Log[-a + d] + d^2*Log[-a + d] + c^2*Log[-c + d] - 2*c*d*Log[-c + d] + d^2*Log[-c + d])/2, 
   b - d == 0 && a - b < 0 && a - d < 0 && a > 0 && a - c > 0 && c > 0}, 
  {(-3*a*c + 3*a*d + 3*c*d - 3*d^2 - a^2*Log[-a + c] + 2*a*c*Log[-a + c] - c^2*Log[-a + c] + a^2*Log[-a + d] - 
     2*a*d*Log[-a + d] + d^2*Log[-a + d] + c^2*Log[-c + d] - 2*c*d*Log[-c + d] + d^2*Log[-c + d])/2, 
   b - d == 0 && a - b < 0 && a - c < 0 && c - d < 0 && a > 0 && b - c > 0}, 
  {(3*b*c - 3*c^2 - 3*b*d + 3*c*d + b^2*Log[b - c] - 2*b*c*Log[b - c] + c^2*Log[b - c] - b^2*Log[-b + d] + 
     2*b*d*Log[-b + d] - d^2*Log[-b + d] + c^2*Log[-c + d] - 2*c*d*Log[-c + d] + d^2*Log[-c + d])/2, 
   a - c == 0 && a - b < 0 && b - d < 0 && a > 0 && b - c > 0}, 
  {(3*b^2 - 3*c^2 - 6*b*d + 6*c*d - 2*b^2*Log[-b + d] + 4*b*d*Log[-b + d] - 2*d^2*Log[-b + d] + 2*c^2*Log[-c + d] - 
     4*c*d*Log[-c + d] + 2*d^2*Log[-c + d])/4, a > 0 && a - b < 0 && a - c == 0 && b - d < 0 && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == a) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d == b) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[a, Less, d, Less, b]) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && Inequality[c, Less, d, Less, a]) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d == b) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && d > b) && 
     !(a > 0 && b > a && Inequality[a, LessEqual, c, Less, b] && Inequality[c, Less, d, Less, b])}}, 0]

-- 14.03.2023, 19:41 --

Далее, выполняя команду

Limit [j, b -> a, Direction -> "FromAbove", 
 Assumptions -> c < d && a > 0 && c > 0]

мой слабый комп сталкивается с проблемами.

-- 14.03.2023, 19:50 --

Нет проблем с конкретными числовыми значениями, например,

Integrate[Log[RealAbs[x - y]], {x, 0, 1}, {y, 0, 1}]
-3/2

Integrate[Log[RealAbs[x - y]], {x, 0, 1/100}, {y, 0, 1}]
(-300 + 19602 ArcCoth[199] - Log[100])/20000
N[%]
-0.0103051

[Markiyan Hirnyk]

Математика 13.2 затрудняется найти предел

Limit [j, b -> a, Direction -> "FromAbove",
Assumptions -> c < d && a > 0 && c > 0]

, однако находит предел для каждой части кусочного выражения, например,

Limit[(-3*a*c + 3*b*c + 3*a*d - 3*b*d - a^2*Log[a - c] + 
    2*a*c*Log[a - c] - c^2*Log[a - c] + b^2*Log[b - c] - 
    2*b*c*Log[b - c] + c^2*Log[b - c] + a^2*Log[a - d] - 
    2*a*d*Log[a - d] + d^2*Log[a - d] - b^2*Log[b - d] + 
    2*b*d*Log[b - d] - d^2*Log[b - d])/2, b -> a, 
 Direction -> "FromAbove", 
 Assumptions -> 
  Simplify[! (a > 0 && b > a && c == a && d > b) && ! (a > 0 && 
       b > a && c == a && 
       Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) && ! (a > 0 && b > a && 
       c == b && d > c) && ! (a > 0 && b > a && c > b && 
       d > c) && ! (a > 0 && b > a && 
       Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) && ! (a > 0 && 
       b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && 
       Inequality[a, Less, d, LessEqual, b]) && ! (a > 0 && b > a && 
       Inequality[a, Less, c, Less, b] && d > b) && ! (a > 0 && 
       b > a && Inequality[a, Less, c, Less, b] && 
       Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) && a > 0 && a - b < 0 && 
    c > 0 && a - c > 0 && c - d < 0 && a - d > 0]]

0

[Markiyan Hirnyk]

Также

Limit[(-3*a*c + 3*b*c + 3*a*d - 3*b*d - a^2*Log[a - c] + 
    2*a*c*Log[a - c] - c^2*Log[a - c] + b^2*Log[b - c] - 
    2*b*c*Log[b - c] + c^2*Log[b - c] + a^2*Log[a - d] - 
    2*a*d*Log[a - d] + d^2*Log[a - d] - b^2*Log[b - d] + 
    2*b*d*Log[b - d] - d^2*Log[b - d])/2, d -> c, 
 Assumptions -> 
  Simplify[! (a > 0 && b > a && c == a && d > b) && ! (a > 0 && 
       b > a && c == a && 
       Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) && ! (a > 0 && b > a && 
       c == b && d > c) && ! (a > 0 && b > a && c > b && 
       d > c) && ! (a > 0 && b > a && 
       Inequality[0, Less, c, Less, a] && d > b) && ! (a > 0 && 
       b > a && Inequality[0, Less, c, Less, a] && 
       Inequality[a, Less, d, LessEqual, b]) && ! (a > 0 && b > a && 
       Inequality[a, Less, c, Less, b] && d > b) && ! (a > 0 && 
       b > a && Inequality[a, Less, c, Less, b] && 
       Inequality[c, Less, d, LessEqual, b]) && a > 0 && a - b < 0 && 
    c > 0 && a - c > 0 && c - d < 0 && a - d > 0]]
0