Дифференцируемость функции в пространстве Соболева

[kitnone]

Коллеги, можете подсказать насчет дифференцируемости в $H_0^1$?
Есть функционал $J(u)= \int\limits_0^l |u(x)|^2 dx \rightarrow{\underset{u(x) \in U}{\inf}}$
Нужно найти для него градиент. Если $u(x) \in L_2$ он считается в одну строку: $J'(u) = (\int\limits_0^l|u(x)|^2 dx)'=(||u(x)||^2_{L_2})'= 2 u(x)$.

А вот с $H_0^1$ ($||u(x)||^2_{H_0^1} = \int\limits_0^l |u'(x)|^2 dx$) почти не работал.

[мат-ламер]

kitnone в сообщении #1585231 писал(а):

А вот с $H_0^1$ ($||u(x)||^2_{H_0^1} = \int\limits_0^l |u'(x)|^2 dx$) почти не работал.

А я вообще не работал. Поэтому сразу извинюсь за наглость и прошу не рассматривать мою писанину за истину. Я скорее присоединяюсь к вашему вопросу. В любом гильбертовом пространстве градиент от квадрата нормы вычисляется элементарно и вы для пространства $L_2$ его написали. Но ваше соболевское пространство не является гильбертовым и элемент с нулевой нормой в нём не единственен. Поэтому я думаю, что и градиент в вашем пространстве не единственен. Думаю, что он определён с точностью до постоянной функции и один из возможных градиентов у вас выписан. Может быть в вашем пространстве можно было перейти к некоторому фактор-пространству и тогда оно бы было гильбертовым. Но это всего лишь мои гипотезы.