Асимптотика и сходимость ряда Дирихле

[Padawan]

Пусть функция $f(s)$ голоморфна в полуплоскости $\sigma>\sigma_1$ (где $s=\sigma+it$) и при $\sigma\to+\infty$ имеет асимптотическое разложение $f(s)\sim\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}$, то есть для любого $N=1, 2\ldots$ функция

$$ N^s\left(f(s) -\sum_{n=1}^N\frac{a_n}{n^s}\right) \ $$

стремится к нулю при $\sigma\to+\infty$ равномерно по $t$.

Я доказал, что тогда $f(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}$ в некоторой полуплоскости $\sigma>\sigma_2$, то есть $f(s) $ есть сумма ряда Дирихле в этой полуплоскости.

Упомянут ли этот факт в учебниках по рядам Дирихле или ещё где-то (в том же Леонтьева Ряды экспонент) ? Может быть он легко следует из стандартных фактов о рядах Дирихле?