2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Гипотеза Римана о нулях дзета функции доказательство
Сообщение07.03.2023, 12:49 
Здравствуйте. Как известно гипотеза Римана в обозначениях Википедии имеет формулировку $\zeta(s)=1+2^{-s}+3^{-s}+4^{-s}+\dots=0\Leftrightarrow s=x+yi$, причём $x=1/2,y\ne 0$, когда $x\in(0;1),x,y\in \mathbb{R}$ и сумма первых $k$ членов ряда имеет вид $\sum\limits_{n=1}^{k}n^{-s}$
В процессе её доказательства я обнаружил, что надо решить ОДУ 2 порядка, которое имеет вид такой $f''(s)+f'(s)\ln(k)-f(s)(\ln(k))^2k^{-s}=0$ Оно решается составлением характеристического уравнения, то есть решения у него такие $f(s)=c_4k^{\frac{-s(1+\sqrt{1+4k^{-s}})}{2}}+c_5k^{\frac{s(-1+\sqrt{-1+4k^{-s}})}{2}}$, где $c_4=c_4(k),c_5=c_5(k)$
Кстати те $k,s$ в формулировке гипотезы и $k,s$ в ОДУ это одни и те же числа.
То, что я написал $c_4,c_5$ это потому, что я выложил отрывок из своего доказательства. Так вот, решил поинтересоваться, как берётся интеграл из ОДУ $\int\limits_{}^{} k^{\frac{-s(1+\sqrt{1+4k^{-s}})}{2}}ds$ и $\int\limits_{}^{} k^{\frac{s(-1+\sqrt{1+4k^{-s}})}{2}}ds$? Просто в зависимости от этого доказательство будет либо длиннее, либо короче

 
 
 
 Re: Гипотеза Римана о нулях дзета функции доказательство
Сообщение07.03.2023, 14:02 
Antoshka, вы доказали гипотезу Римана?

 
 
 
 Re: Гипотеза Римана о нулях дзета функции доказательство
Сообщение08.03.2023, 20:22 
Antoshka в сообщении #1584689 писал(а):
решил поинтересоваться, как берётся интеграл из ОДУ $\int\limits_{}^{} k^{\frac{-s(1+\sqrt{1+4k^{-s}})}{2}}ds$ и $\int\limits_{}^{} k^{\frac{s(-1+\sqrt{1+4k^{-s}})}{2}}ds$?
Это вопрос для ПРР, а не дискуссионный.

 
 
 
 Re: Гипотеза Римана о нулях дзета функции доказательство
Сообщение08.03.2023, 20:25 
Аватара пользователя
Antoshka в сообщении #1584689 писал(а):
Как известно гипотеза Римана в обозначениях Википедии имеет формулировку $\zeta(s)=1+2^{-s}+3^{-s}+4^{-s}+\dots=0\Leftrightarrow s=x+yi$, причём $x=1/2,y\ne 0$, когда $x\in(0;1),x,y\in \mathbb{R}$
Это неправда. Этот ряд сходится только если $\operatorname{Re} s > 1$.

 
 
 
 Re: Гипотеза Римана о нулях дзета функции доказательство
Сообщение09.03.2023, 10:55 
mihaild в сообщении #1584879 писал(а):
Это неправда. Этот ряд сходится только если $\operatorname{Re} s > 1$

Да, я невнимательно посмотрел формулировку. Такой вид имеет место при $\operatorname{Re} s > 1$. В Википедии даётся вид функции только для $\operatorname{Re} s > 1$. Не могу найти, какой вид имеет функция при $\operatorname{Re} s <1$

 
 
 
 Re: Гипотеза Римана о нулях дзета функции доказательство
Сообщение09.03.2023, 11:28 
Antoshka в сообщении #1584905 писал(а):
Не могу найти, какой вид имеет функция при $\operatorname{Re} s <1$

В английской википедии сказано явно(в русской подразумевается):
Цитата:
The Riemann zeta function or Euler–Riemann zeta function, denoted by the Greek letter ζ (zeta), is a mathematical function of a complex variable defined as

$$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots$$
for $\operatorname{Re} (s)>1$ and its analytic continuation elsewhere.

 
 
 
 Re: Гипотеза Римана о нулях дзета функции доказательство
Сообщение20.05.2023, 13:55 
Antoshka в сообщении #1584905 писал(а):
Не могу найти, какой вид имеет функция при $\operatorname{Re} s <1$


Уиттекер, Ватсон, Курс современного анализа, 2-ой том. Там есть глава про дзета функцию Римана.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group