Спасибо за ссылку! Она сэкономила мне время...
В статье рассматривается векторный ARMA-процесс максимально общего вида. В таком процессе получится очень много параметров, что вероятно оправдано целью исследования: прогнозирование самой случайной вектор-последовательности. Однако у меня стоят другие цели. Мне надо вычислить матожидания и некоторые линейные функционалы от спектральных функций (включая взаимные). Нужна ли мне вообще многомерная ARMA-модель такого общего вида, как описано в статье?
Предположим для простоты, что нам даны две вещественные стационарные случайные последовательности с ограниченным вторым моментом (не обязательно нормальные!):
и
с общим "временем". Можно построить независимым образом аппроксимирующие последовательности
и
из классов
и
соответственно. Напомню, это значит, что удовлетворяются авторегрессионные уравнения:
Получив оценки матожиданий (
) и оптимальные коэффициенты всех 4-х полиномов, я могу вычислить оценки для спектральных функций каждой исходной последовательности:
![$$
\hat S_u(\omega) = \frac{1}{2\pi}
\left|\frac{\Theta_q(e^{-i\omega})}{\Phi_p(e^{-i\omega})}\right|^2\, , \qquad
\hat S_v(\omega) = \frac{1}{2\pi}
\left|\frac{\Psi_s(e^{-i\omega})}{\Omega_r(e^{-i\omega})}\right|^2\, , \qquad
\omega\in[-\pi, \pi]
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/a/42a1134d157239ad4ad8c5a9a1b5d43782.png "$$
\hat S_u(\omega) = \frac{1}{2\pi}
\left|\frac{\Theta_q(e^{-i\omega})}{\Phi_p(e^{-i\omega})}\right|^2\, , \qquad
\hat S_v(\omega) = \frac{1}{2\pi}
\left|\frac{\Psi_s(e^{-i\omega})}{\Omega_r(e^{-i\omega})}\right|^2\, , \qquad
\omega\in[-\pi, \pi]
$$")
Мало этого! Есть возможность для вычисления и взаимной спектральной функции:
![$$
\hat S_{uv}(\omega) = \frac{1}{2\pi}
\left(\frac{\Theta_q(e^{-i\omega})}{\Phi_p(e^{-i\omega})}\right)
\overline{\left(\frac{\Psi_s(e^{-i\omega})}{\Omega_r(e^{-i\omega})}\right)}\, , \qquad
\omega\in[-\pi, \pi]
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/9/4b96a4b31f337c32ad01d574022f2f0782.png "$$
\hat S_{uv}(\omega) = \frac{1}{2\pi}
\left(\frac{\Theta_q(e^{-i\omega})}{\Phi_p(e^{-i\omega})}\right)
\overline{\left(\frac{\Psi_s(e^{-i\omega})}{\Omega_r(e^{-i\omega})}\right)}\, , \qquad
\omega\in[-\pi, \pi]
$$")
Эта функция перестанет быть чётной, но останется вещественной ввиду вещественности исходных последовательностей. После всего этого я могу вычислить свои линейные функционалы, получить три числа и быть довольным. Что улучшит обобщённая (векторная) ARMA-модель?
и 
(в случае 
), но опровергает указанное мной соотношение для взаимной спектральной функции 
. Точнее, указанная мной формула верна в случае, если оба одномерных ARMA-процесса порождены единым белым шумом (т.е. 
). В случае, если белые шумы независимы в широком смысле, получается, что взаимная корреляция аппроксимирующих случайных последовательностей будет отсутствовать вообще. Для её моделирования нужны ненулевые взаимные авторегрессионные связи в определяющих модель уравнениях, т.е. всё-таки обобщённая ARMA-модель...