Задача по Теории Чисел из Ireland

[ohart]

В книге "Классическое введение в современную ТЧ" есть задача 9 из Главы 4. Звучит так:

Цитата:

Показать, что произведение все примитивных корней по модулю $p$ сравнимо с $(-1)^{\varphi(p-1)}$ по модулю $p$.

Дайте, пожалуйста, какую-нибудь слабую подсказку как это доказать. Мне кажется, что тут все должно быть не сильно сложно, просто пока туплю.
$p$ в задаче, насколько я понимаю, любое целое, не обязательно простое.

[mathematician123]

ohart
Обозначим один из примитивных корней $u$. Как выражаются через степени числа $u$ все остальные примитивные корни?

[Null]

Если $u$ -примитивный, то и $u^{-1}$ - примитивный. Все пары сокращаются кроме редкого случая $u^2=1$.

[ohart]

mathematician123 в сообщении #1584455 писал(а):

ohart
Обозначим один из примитивных корней $u$. Как выражаются через степени числа $u$ все остальные примитивные корни?

Подсказку понял, спасибо! Степени будут всегда взаимно просты с $\varphi(p)$

-- 05.03.2023, 20:45 --

Null в сообщении #1584475 писал(а):

Если $u$ -примитивный, то и $u^{-1}$ - примитивный. Все пары сокращаются кроме редкого случая $u^2=1$.

Ну да, совсем просто, спасибо

[Padawan]

ohart в сообщении #1584476 писал(а):

Подсказку понял, спасибо! Степени будут всегда взаимно просты с $\varphi(p)$

А я подсказку не понял. И степенями будут числа, взаимно простые с $p-1$.

Null в сообщении #1584475 писал(а):

Если $u$ -примитивный, то и $u^{-1}$ - примитивный. Все пары сокращаются кроме редкого случая $u^2=1$.

Действительно, перемудрили с формулировкой. Функция Эйлера всегда чётная, кроме $\varphi (2) =1$.
Я из- за такой формулировки про круговой многочлен вспомнил: если $u_i$ -- все первообразные корни, то $\prod_{i=1}^{\varphi(p-1)}(x-u_i) =\Phi_{p-1}(x)$. А свободный член у кругового многочлена равен $1$. Но это рассуждение только для простого $p$ подходит, когда остатки образуют поле. А Ваше док-во проще и подходит для любого $p$, для которого существует первобразный корень.

[ohart]

Padawan в сообщении #1584520 писал(а):

ohart в сообщении #1584476 писал(а):

Подсказку понял, спасибо! Степени будут всегда взаимно просты с $\varphi(p)$

А я подсказку не понял. И степенями будут числа, взаимно простые с $p-1$.

Все-таки наверное c $\varphi(p)$, поскольку в задаче $p$ - не обязательно простое.

Когда я это писал, я еще не видел второго комментария с очень простым решением. Но сама подсказка понятная, она приводит к тому же простому решению, только чуть более сложным путем.
Выберем произвольный примитивный корень $g$. Тогда, с учетом подсказки, произведение всех корней равно $g^t$, где

$$t=\sum\limits_{\left(\alpha,\varphi(p)\right)=1}\alpha$$

Замечаем, что если $(\alpha,\varphi(p))=1$, то и $(\varphi(p)-\alpha,\varphi(p))=1$. Следовательно в этой сумме все сократится всегда, кроме единственного случая, когда примитивный корень один.