Противоречие в распределении давления (гидродинамика)

[tehnolog]

В трубу круглого сечения, тангенциально (из двух источников), подается идеальная (несжимаемая, невязкая) жидкость. Жидкость течет в направлении оси Y, и кроме того вращается с угловой скоростью, которая (в соответствии с законом сохранения момента импульса) изменяется по закону:

$$\omega=\frac{\omega_R\cdot{R^2}}{r^2}\qquad\qquad(1)$$

Где $\omega_R$ - - угловая скорость жидкости на максимальном радиусе $R$ (радиус трубы); $r$ - переменный радиус. На рисунке изображены проекции линий тока жидкости на плоскость r – Y. На некотором расстоянии от мест подачи жидкости они выравниваются, и далее параллельны оси Y. Скорость поступательного движения Vy далее по всей трубе не меняется и в каждой линии тока имеет одну и ту же величину. Данной картине течения жидкости соответствует следующая картина распределения давлений, описываемая уравнениями Эйлера:

$$\frac{\partial{p}}{\partial{r}}=\rho\omega^2r=\rho\omega_R^2R^4\cdot{\frac{1}{r^3}};\qquad\frac{\partial{p}}{\partial{y}}=0\qquad\qquad(2)$$

(Примечание: в общем виде, в цилиндрической системе координат, уравнения Эйлера выглядят так:

$$-\frac{1}{\rho}\frac{\partial{p}}{\partial{r}}=\frac{\partial{V_r}}{\partial{r}}\cdot{V_r}+\frac{\partial{V_r}}{\partial{y}}\cdot{V_y}-\omega^2r;\qquad-\frac{1}{\rho}\frac{\partial{p}}{\partial{y}}=\frac{\partial{V_y}}{\partial{r}}\cdot{V_r}+\frac{\partial{V_y}}{\partial{y}}\cdot{V_y}\qquad\qquad(3)$$

но в нашем случае $V_r=0$ и $\frac{\partial{V_r}}{\partial{r}}\cdot{V_r}+\frac{\partial{V_r}}{\partial{y}}\cdot{V_y}=0$).
После интегрирования (2) получаем (форма уравнения Бернулли):

$$p=p_R+\frac{1}{2}\rho\omega_R^2R^2-\frac{1}{2}\rho\omega_R^2\frac{R^4}{r^2}\qquad\qquad(4)$$

($p_R$ - давление на максимальном радиусе (радиус трубы))
Причем возле оси вращения образуется канал из разреженного пространства (насыщенный пар жидкости), т.к. жидкость не выдерживает отрицательного давления).
Суть проблемы:
Теперь в трубу, на значительном расстоянии от места ввода жидкости, поместили две геликоидальных формы, с разницей фазы витка – $\pi$ (фактически двухходовой винт). Закрученная с большой скоростью жидкость «налетает» на эти винтовые поверхности, и увеличивает скорость своего движения $V_y$, или соответствующую ей кинетическую энергию $\frac{\rho V_y^2}{2}$. В начальный момент это, казалось бы, должно происходить за счет уменьшения скорости (кинетической энергии) вращательного движения. Но в силу неразрывности потока, при переходе в стационарный режим течения, жидкость уже приходит к геликоиду с «увеличенной» скоростью поступательного движения, так, что энергия вращательного движения не расходуется. Таким образом, распределение угловых скоростей (1) остается тем же даже на участке с геликоидами (в других местах оно не может меняться ни при каких обстоятельствах в силу закона сохранения момента импульса). Зато скорости $V_y$ в каждой линии тока становятся разными. Тогда по закону сохранения энергии, если все силы, действующие на жидкость, обусловлены только перепадами давлений, должно дополнительно падать давление в каждой линии тока жидкости (уравнение Бернулли). Но в этом случае, нарушается его распределение вдоль радиуса, описываемое уравнениями (2) и (4). Так, согласно первому из уравнений Эйлера (3), новое распределение должно приводить к появлению радиальной составляющей скорости $V_r$:

$$\frac{\partial{V_r}}{\partial{r}}\cdot{V_r}+\frac{\partial{V_r}}{\partial{y}}\cdot{V_y}-\omega^2r=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial{p}}{\partial{r}}\qquad\qquad(5)$$

где

$$\frac{\partial{V_r}}{\partial{r}}\cdot{V_r}+\frac{\partial{V_r}}{\partial{y}}\cdot{V_y}=\frac{dV_r}{d\tau}\qquad\qquad(6)$$

Но у нас проекции линий тока продолжают иметь вид прямых (нет радиальных составляющих скорости). Уравнение Эйлера характеризует свойство давления как потенциальной функции, градиент которой определяет силу, действующую на элемент жидкости. У нас же визуально оно не выполняется, в случае, если мы принимаем дополнительное падение давления в линиях тока, после использования геликоидов. Напрашивается вывод, что силы, действующие в жидкости, в этом случае нельзя обосновывать только градиентом давления. А значит в отличие от сил давления, они могут обладать неконсервативными свойствами (работа не определяется разницей потенциалов). Вопрос об источнике энергии напрашивается на ум, как внутренняя энергия жидкости (теплового движения молекул). Но это противоречит второму началу.
Иллюстрация несоответствия:
допустим геликоид характеризуется параметром k:

$$k=\frac{dy}{d\varphi}\qquad\qquad(7)$$

который определяет перемещение полупрямой, образующей его поверхность, вдоль оси Y, при повороте на единичный угол. Тогда скорости поступательного движения жидкости будут равны:

$$V_y=\omega\cdot{k}=\frac{\omega_R\cdot{R^2}}{r^2}k\qquad\qquad(8)$$

Если руководствоваться тем, что увеличение $V_y$ после установки геликоидов приводит к падению давления в линиях тока, то согласно уравнению Бернулли (интегральная форма уравнений Эйлера) эти давления будут выражаться следующим образом:

$$p=p_R+\frac{1}{2}\rho\omega_R^2\cdot{R^2}+\frac{1}{2}\rho V_{yR}^2-\frac{1}{2}\rho\omega^2\cdot{r^2}-\frac{1}{2}\rho Vy^2=$$

$$=p_R+\frac{1}{2}\rho\omega_R^2\cdot{R^2}+\frac{1}{2}\rho V_{yR}^2-\frac{1}{2}\rho\omega_R^2\frac{R^4}{r^2}-\frac{1}{2}\rho\omega_R^2\frac{R^4}{r^4}k^2\qquad\qquad(9)$$

Продифференцируем (9) по $r$, разделив затем на $\rho$, и возьмем со знаком «минус» полученное выражение:

$$-\frac{1}{\rho}\frac{\partial{p}}{\partial{r}}=-\omega_R^2\frac{R^4}{r^3}-2\omega_R^2\frac{R^4}{r^5}k^2\qquad\qquad(10)$$

или

$$-\frac{1}{\rho}\frac{\partial{p}}{\partial{r}}=-\omega^2r-2\frac{V_y^2}{r}\qquad\qquad(11)$$

Сравнивая (11) и (5), с учетом (6) можно было бы заключить, что $\frac{dV_r}{d\tau}=-2\frac{V_y^2}{r}$, но в нашем случае $\frac{dV_r}{d\tau}=0$, а $-2\frac{V_y^2}{r}\neq 0$. Значит

$$\frac{dV_r}{d\tau}\neq -2\frac{V_y^2}{r}\qquad\qquad(12)$$

И уравнение Эйлера в форме (5) не выполняется.
Если все же предположить, что оно выполняется в форме (2), тогда нужно признать, что давления в линиях тока после установки геликоидов не меняется. В этом случае ускорение жидкости должно происходить из-за некоторых сторонних сил. Тогда остается открытым вопрос, откуда взялась энергия.

[amon]

tehnolog в сообщении #1584344 писал(а):

в трубу, на значительном расстоянии от места ввода жидкости, поместили две геликоидальных формы, с разницей фазы витка – $\pi$ (фактически двухходовой винт). Закрученная с большой скоростью жидкость «налетает» на эти винтовые поверхности, и увеличивает скорость своего движения $V_y$, или соответствующую ей кинетическую энергию $\frac{\rho V_y^2}{2}$. В начальный момент это, казалось бы, должно происходить за счет уменьшения скорости (кинетической энергии) вращательного движения.

Полная симметрия Вашей системы (пустая труба + труба с винтом) - симметрия винтовой линии. Сохраняющейся величиной при такой симметрии будет величина $L_y+\frac{h}{2\pi}P_y,\,L_y$ - проекция углового момента на ось $y,$ $P_y$ - импульс вдоль $y,\, h$ - шаг винта. Поэтому, если скорость вращения уменьшается, то скорость вдоль $y$ увеличивается и наоборот. По-отдельности ни импульс, ни момент количества движения вдоль $y$ не сохраняются.

[tehnolog]

amon в сообщении #1584400 писал(а):

tehnolog в сообщении #1584344 писал(а):

в трубу, на значительном расстоянии от места ввода жидкости, поместили две геликоидальных формы, с разницей фазы витка – $\pi$ (фактически двухходовой винт). Закрученная с большой скоростью жидкость «налетает» на эти винтовые поверхности, и увеличивает скорость своего движения $V_y$, или соответствующую ей кинетическую энергию $\frac{\rho V_y^2}{2}$. В начальный момент это, казалось бы, должно происходить за счет уменьшения скорости (кинетической энергии) вращательного движения.

Полная симметрия Вашей системы (пустая труба + труба с винтом) - симметрия винтовой линии. Сохраняющейся величиной при такой симметрии будет величина $L_y+\frac{h}{2\pi}P_y,\,L_y$ - проекция углового момента на ось $y,$ $P_y$ - импульс вдоль $y,\, h$ - шаг винта. Поэтому, если скорость вращения уменьшается, то скорость вдоль $y$ увеличивается и наоборот. По-отдельности ни импульс, ни момент количества движения вдоль $y$ не сохраняются.

Спасибо, а откуда Вы взяли эту формулу? Можно ссылку на инфу? Есть подозрение, что эта формула справедлива для точечной массы, но не для элемента жидкости, который связан с остальной жидкостью неразрывностью (силами межмолекулярного взаимодействия). Потому-что в пределах линии тока, в данном случае, жидкость не может иметь разную скорость $V_y$. Если она меняется, то меняется сразу во всей линии (как у нитки, которую тянут), как на участке до винтовой поверхности, так и на участке с ней. При этом эта скорость должна быть такой, чтоб "вписаться" в этот винт: $V_y=\frac{h}{2\pi}\cdot{\omega}$. Тогда, если предположить, что ваша формула верна, то для случая трубы без винта, и с винтом "запас" величины $L_y+\frac{h}{2\pi}P_y$ будет отличаться. Причем, для трубы с геликоидом, он будет большим. Но этому "запасу" соответствует определенный запас энергии. Для варианта с винтом - он больший. Вопрос, откуда прирост?

[tehnolog]

tehnolog в сообщении #1584444 писал(а):

Есть подозрение, что эта формула справедлива для точечной массы, но не для элемента жидкости, который связан с остальной жидкостью неразрывностью (силами межмолекулярного взаимодействия).

Хотя, для точечной массы должна сохраняться энергия, а не величина $L_y+\frac{h}{2\pi}P_y$...

[amon]

tehnolog в сообщении #1584444 писал(а):

Спасибо, а откуда Вы взяли эту формулу?

В уме (которого уже нет) вывел. При преобразовании

$$\begin{align} y&\to y+\frac{k}{2\pi}\alpha\\ \varphi&\to \varphi+\alpha \end{align}$$

спираль переходит сама в себя. Значит не изменятся и все динамические величины. Тогда по теореме Нётер сохраняется величина $P_\varphi+ \frac{k}{2\pi}P_y.$ Это работает, если все силы потенциальны (нет трения), что верно для идеальной жидкости. Сохранение энергии связано с инвариантностью к сдвигам во времени, импульса - к пространственным сдвигам и т. п.

tehnolog в сообщении #1584444 писал(а):

Потому-что в пределах линии тока, в данном случае, жидкость не может иметь разную скорость $V_y$.

С чего вдруг? Линия тока показывает только направление скорости, а ее величина вдоль такой линии может меняться как угодно. Пример - расширяющаяся труба.

Остальное я не понял, но складывается впечатление, что Вы считаете, что вся энергия жидкости сидит в ее кинетической энергии. Это не так. Кроме кинетической энергии есть еще давление, выполняющее роль потенциальной энергии (тот же пример с расширяющейся трубой - скорость падает, давление растет).

[tehnolog]

amon в сообщении #1584493 писал(а):

С чего вдруг? Линия тока показывает только направление скорости, а ее величина вдоль такой линии может меняться как угодно. Пример - расширяющаяся труба.

В этом примере труба не расширяющаяся, а постоянного сечения. А для того, чтоб скорость $V_y$ в линиях тока изменилась в прямой трубе, необходимо чтоб эти линии тока начали изгибаться, т.е. появились радиальные компоненты скорости $V_r$, в чем я сомневался.

Цитата:

Остальное я не понял, но складывается впечатление, что Вы считаете, что вся энергия жидкости сидит в ее кинетической энергии. Это не так. Кроме кинетической энергии есть еще давление, выполняющее роль потенциальной энергии (тот же пример с расширяющейся трубой - скорость падает, давление растет).

Жаль, что не поняли. Наверное коряво объяснил. Я как раз рассматриваю давление как потенциальную функцию. Попробую еще раз:
1) Есть резервуар с повышенным давлением постоянного значения $P_1$. Будем считать его емкость бесконечной. Из него вода подается в трубу, через две трубки малых диаметров, по касательной, в проекции перпендикулярно оси Y. Линии тока вначале идут примерно как показано на рисунке, затем выпрямляются.
Силы, которые действуют на элементы жидкости, пока линии тока не выпрямились, раскладываются на центростремительные, и действующие вдоль оси Y, и могут быть описаны как:

$$\vec{F}=-\vec{\nabla} P=-\frac{\partial P}{\partial r}\vec{e_r}-\frac{\partial P}{\partial y}\vec{e_y}=\vec{F_r}+\vec{F_y}\qquad\qquad(1a)$$

Момент этих сил равен нулю, поэтому
сохраняется момент импульса, с которым жидкость выходит из малых трубок в большую трубу, его модуль: $\lvert M\rvert=\omega_R\cdot{R^2}=\omega\cdot{r^2}$, откуда имеем:

$$\omega=\frac{\omega_R\cdot{R^2}}{r^2}\qquad\qquad(2a)$$

Далее, для удобства рассматриваю проекции сил, которые фигурируют в (1а), на радиус-вектор и на ось y, и соответствующие им проекции ускорений единицы объема жидкости (уравнения Эйлера):

$$-\frac{\partial P}{\partial r}=\rho(\frac{\partial V_r}{\partial r}\cdot{V_r}+\frac{\partial V_r}{\partial y}\cdot{V_y})-\rho\omega^2r\qquad-\frac{\partial P}{\partial y}=\rho(\frac{\partial V_y}{\partial r}\cdot{V_r}+\frac{\partial V_y}{\partial y}\cdot{V_y})\qquad\qquad(3a)$$

После выпрямления линий тока, уравнения (3а) принимают вид:

$$-\frac{\partial P}{\partial r}=-\rho\omega^2r\qquad-\frac{\partial P}{\partial y}=0\qquad\qquad(4a)$$

.
2). Далее, рассматривается только участок с параллельными оси y линиями тока. Как раз, в связи с тем, что давление является потенциальной функцией, на рассматриваемом участке оно определится как

$$P=P_1-\frac{1}{2}\rho V_y^2-\frac{1}{2}\rho\omega^2r^2\qquad\qquad(5a)$$

Это, собственно уравнение Бернулли. Перегруппируйте его члены,
и получите приращение кинетической энергии, как убыли потенциалов (давления). А вы говорите, я не учитывал потенциальной энергии. При этом угловая скорость зависит от радиуса, и определяется выражением (2а). А скорость $V_y$ одинакова во всех линиях тока, и не изменяется вдоль y.
3). Поставили винт (после участка с параллельными линиями тока). Теперь жидкость на участке с винтом "скользит" вдоль винтовой поверхности со скоростью

$$V_y=\omega\frac{dy}{d\varphi}=\omega\frac{h}{2\pi}\qquad\qquad(6a)$$

. Или я не прав в этом месте?
Согласно (6а) скорости $V_y$ теперь разные и зависят от радиуса (поскольку $\omega$ зависит от радиуса). В пределах линии тока $V_y$ одинакова (потому-что по условию линии тока параллельны оси y, в трубе постоянного сечения).Согласно (5а) распределение давлений в линиях тока тоже другое, из-за разных скоростей $V_y$. И если до установки винта, оно отвечало 4(а), то после
установки, в связи с изменением распределения давления, оно должно принять общий вид (3a). Т.е. должна появляется радиальная составляющая $V_r$. А по условию ее нет - линии тока прямые.
И в этом мне показалось противоречие, для разрешения которого надо принять, что давление в линиях тока остается таким же как до установки винта, не смотря на изменение $V_y$, и уравнение (3а) имеет вид (4а). Тогда всплыл бы вопрос о несохранении энергии (с учетом потенциальной энергии давления).
4). И тут можно возразить - "Почему бы линиям тока не искривляться вблизи винта таким образом, чтоб перераспределение давлений и скоростей удовлетворяло закону сохранения энергии, при этом на участке с прямыми линиями тока была такая же картина, как и до установки винта? Почему я вдруг решил,
что линии тока везде прямые, и не искривляются?" Ну, я думал потому, что в этом случае на участке с винтом они должны были бы сгущаться, или ближе к оси трубы, или к максимальному радиусу. Это означало бы опять наличие распределения $V_y$ вдоль радиуса и появлению радиальной составляющей скорости, только уже на винтовом участке. И это показалось не правдоподобным. Хотя сейчас
есть версия, что жидкость просто огибает место стыка винта с трубой. А потом, после стыка, скорость $V_y$ во всем сечении винта становится одинаковой, как и до стыка. Все равно не правдоподобно...,т.к. и угловая скорость должна была бы стать одинаковой по линиям тока на винтовом участке (если принять справедливым соотношение (6а)).

[amon]

tehnolog в сообщении #1584538 писал(а):

Или я не прав в этом месте?

По поводу сохранения углового момента. Проекция углового момента на ось $y$ сохраняется, если при повороте системы на произвольный угол вокруг оси $y$ ничего не меняется. Трубки нарушают эту симметрию (поворачиваются), и при наличии двух трубок поле скоростей будет отличаться от описанного Вами.
Ну, да бог с ними. Пусть мы создали на бесконечности Ваше поле скоростей, скажем, с помощью кольцевой щели. В этом случае все параметры (поверхности постоянного давления, постоянной циркуляции и т. п. имеют цилиндрическую симметрию. Теперь мы вставили в трубу винтовую поверхность. Давайте следить за линиями, скажем, постоянной циркуляции. Они удобны тем, что, в отличии от линий тока, вдоль них $|\operatorname{rot}\mathbf{v}|$ не меняется. При отсутствии винта это прямые линии. При наличии винта они прямыми быть не могут (упрутся в винт). Из симметрийных соображений они, видимо, будут винтовыми линиями, огибающими винт. Но это означает, что поле скоростей внутри винта радикально отличается от поля на бесконечности. В частности, может появится и радиальная компонента скорости.

[tehnolog]

amon в сообщении #1584594 писал(а):

Они удобны тем, что, в отличии от линий тока, вдоль них $|\operatorname{rot}\mathbf{v}|$ не меняется. При отсутствии винта это прямые линии.

Я не особо силен в векторном анализе, но может Вы имели ввиду $\iint\limits_{S}^{} \operatorname{rot}_n\vec{v}dS=\operatorname{const}$ ? Поскольку постоянная циркуляция вдоль некоторого контура это и означает.

amon в сообщении #1584594 писал(а):

В частности, может появится и радиальная компонента скорости.

А если винтовой участок достаточно протяжен, то тогда линия тока упрется в стенку за счет радиальной составляющей, или в ось вращения. Или радиальная скорость будет постоянно менять направление, что маловероятно?
Но интересно еще и другое. Вы утверждаете, что циркуляция скорости $I$ по замкнутому контуру остается постоянной. При чем это утверждаете не только Вы, это теорема Томсона . Этому условию отвечает как раз соотношение $\frac{dI}{d\tau}=\oint\limits_{L}^{}a_xdx+a_ydy+a_zdz=0$. В свою очередь, оно вытекает из того, что силы, действующие в жидкости, обусловлены только градиентом давления (консервативны). Т.е. учитывая, что $\vec{a}=-\frac{1}{\rho}\vec{\operatorname{grad}}P$, и вытекает, что:

$$\oint\limits_{L}^{}a_xdx+a_ydy+a_zdz=-\frac{1}{\rho}\oint\limits_{L}^{}dP=0$$

Из этого в частности вытекает, что если жидкость не имеет вихрей в определенный момент времени, то она не будет их иметь и в любой другой момент. И наоборот, если она их имеет, то имеет и в любой другой момент. Тогда вопрос: а если жидкость текла по трубопроводу, и не имела вихрей (только скорость вдоль y), затем прошла участок с винтом, а затем снова без винта. То у нее в итоге появились вихри. Тогда это противоречит изложенному выше. Т.е. если они появились то уже нельзя считать силы действующие на жидкость обусловленными только градиентом потенциала. Как быть? Ведь это противоречит теореме Томсона.

[amon]

tehnolog в сообщении #1584784 писал(а):

Я не особо силен в векторном анализе, но может Вы имели ввиду $\iint\limits_{S}^{} \operatorname{rot}_n\vec{v}dS=\operatorname{const}$

Одно следует из другого. Окружим линию, касательную к $\operatorname{rot}\mathbf{v},$ маленьким колечком площадью $s$, плоскость которого перпендикулярна линии. Циркуляция будет $s|\operatorname{rot}\mathbf{v}|,$ сдвинем колечко вдоль линии так, что бы его плоскость оставалась перпендикулярной линии. Циркуляция не изменится, значит $|\operatorname{rot}\mathbf{v}|$ не меняется вдоль такой линии. По этой причине эти линии не могут обрываться, они либо замкнуты, либо уходят на бесконечность.

tehnolog в сообщении #1584784 писал(а):

А если винтовой участок достаточно протяжен, то тогда линия тока упрется в стенку за счет радиальной составляющей, или в ось вращения. Или радиальная скорость будет постоянно менять направление, что маловероятно?

Линии постоянной циркуляции должны огибать винт. Значит у вектора $\operatorname{rot}\mathbf{v}$ внутри винта появляются составляющие вдоль всех осей. Это значит, что должна быть еще хотя бы одна компонента скорости, нетривиально зависящая от координат (на бесконечности от координат зависела только $V_\varphi.$).

tehnolog в сообщении #1584784 писал(а):

Тогда вопрос: а если жидкость текла по трубопроводу, и не имела вихрей (только скорость вдоль y), затем прошла участок с винтом, а затем снова без винта. То у нее в итоге появились вихри. ... Как быть?

Не рассматривать такое течение идеальной жидкости. Оно невозможно. Реальная жидкость - другая история.

[tehnolog]

amon в сообщении #1584844 писал(а):

Одно следует из другого. Окружим линию, касательную к $\operatorname{rot}\mathbf{v},$ маленьким колечком площадью $s$, плоскость которого перпендикулярна линии.

Насколько я понимаю, это утверждение справедливо пока сечение (колечко площадью $s$) векторной трубки не меняется.
Если оно меняется (контур 1 переходит в контур 2 при той же постоянной циркуляции), то Ваше утверждение про постоянство ротора вдоль линии уже не верно.

amon в сообщении #1584844 писал(а):

Не рассматривать такое течение идеальной жидкости. Оно невозможно. Реальная жидкость - другая история.

Неужели наличие вязкостных сил так принципиально меняет картину течения в случае с винтом? Не понятен механизм, каким образом вязкость влияет. Ведь в любом случае вязкая жидкость или нет, ей приходится обтекать винт. А значит появляется вихрь. В любом случае, спасибо. Если Вас не затруднит, посоветуйте литературу касательно этого вопроса.

[tehnolog]

tehnolog в сообщении #1584850 писал(а):

Если Вас не затруднит, посоветуйте литературу касательно этого вопроса.

Литературу нашел, спасибо.

[tehnolog]

amon в сообщении #1584594 писал(а):

Давайте следить за линиями, скажем, постоянной циркуляции. Они удобны тем, что, в отличии от линий тока, вдоль них $|\operatorname{rot}\mathbf{v}|$ не меняется. При отсутствии винта это прямые линии. При наличии винта они прямыми быть не могут (упрутся в винт).

Я подсчитал циркуляцию по произвольному контуру. Так вот оказалось, что она для такого распределения скоростей равна нулю. То есть у меня движение жидкости безвихревое. Причем это единственный вид вращательного движения, когда $\operatorname{rot}\mathbf{v}=0$. И тогда на участке с винтом тоже будет такое же распределение угловых скоростей (и $V_\varphi$ соответственно). Тогда все вопросы, которые я поднимал остаются в силе ( и проекции линий тока имеют вид прямых!)

[DimaM]

tehnolog в сообщении #1584945 писал(а):

Я подсчитал циркуляцию по произвольному контуру. Так вот оказалось, что она для такого распределения скоростей равна нулю.

Как это заявление согласуется с формулой

$$\omega=\frac{\omega_R\cdot{R^2}}{r^2}?$$

[amon]

Присоединяюсь к вопросу DimaM

[tehnolog]

Рассмотрим криволинейный интеграл $\oint\limits_{L} \mathbf{v}\cdot{\mathbf{dl}}$ по произвольному замкнутому контуру, так, чтоб поверхность которую он ограничивает
была перпендикулярна вектору угловой скорости. В качестве такого контура выберем контур ABCD (порядок букв будет соответствовать направлению обхода контура).Ось y направлена перпендикулярно плоскости рисунка, от нас.

$$\oint\limits_{L} \mathbf{v_\varphi}\cdot{\mathbf{dl}}=\int\limits_{AB}\mathbf{v_\varphi}\cdot{\mathbf{dr}}+\int\limits_{BC}\mathbf{v_\varphi}\cdot{\mathbf{r}}\mathbf{d\varphi}+\int\limits_{CD}\mathbf{v_\varphi}\cdot{\mathbf{dr}}+\int\limits_{DA}\mathbf{v_\varphi}\cdot{\mathbf{r}}\mathbf{d\varphi}$$

$$\mathbf{V_\varphi}= \mathbf{r}\times \mathbf{\omega}=\omega r\mathbf{e_\varphi}$$

$$\oint\limits_{L} \mathbf{v_\varphi}\cdot{\mathbf{dl}}=0+\omega_R R^2\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}d\varphi+0+\omega_R R^2\int\limits_{\varphi_2}^{\varphi_1}d\varphi=\omega_R R^2 (\varphi_2-\varphi_1) -\omega_R R^2 (\varphi_2-\varphi_1)=0$$

Легко убедиться, что результат не зависит от характера контура, по которому берется интегрирование.